Uniformes y simulación por cuantiles
Apuntes, tema 3 · 3.1.4 y 3.2.1: uniformes, Montecarlo y generación binomial por inversiónAbrir el PDF en la página 7
Objetivos de la lección
- Distinguir equiprobabilidad discreta de densidad uniforme.
- Interpretar un cuantil y el muestreo por inversión.
Apartado 1 de 3
Igual masa no es igual altura
Transcripción
Hola.
Elegimos un instante entre dos y seis minutos sin preferir ninguna zona.
Uniforme continua significa que intervalos de igual longitud dentro de ese soporte reciben igual probabilidad.
Para preguntar por estar entre tres y cinco debemos comparar ese tramo con el recorrido completo.
El soporte tiene anchura seis menos dos: cuatro minutos.
La densidad es constante y su área total debe ser uno; por eso su altura es uno entre cuatro por minuto.
En el gráfico, el sombreado entre tres y cinco representa un área de probabilidad, no la altura por sí sola.
El tramo favorable mide cinco menos tres: dos minutos.
Multiplicar esa anchura por la altura un cuarto equivale a dividir dos entre cuatro y da una mitad.
Las unidades se cancelan.
Usamos longitudes porque toda la densidad dentro del soporte tiene la misma altura.
Un instante aislado no tiene anchura, así que su probabilidad es cero.
No estamos repartiendo una masa positiva a cada uno de infinitos puntos.
Aquí la igualdad es de densidades y de áreas para tramos iguales; incluir o excluir un extremo aislado no cambia la probabilidad.
En cambio, si elegimos entre uno, dos, tres y cuatro con la misma probabilidad, sí hay cuatro masas de un cuarto.
Su media es la suma diez dividida entre cuatro: dos coma cinco.
Promediar las cuatro distancias cuadradas a ese centro da uno coma veinticinco de varianza.
Para enteros consecutivos de a a be hay be menos a más uno valores equiprobables.
Su varianza se resume con el cuadrado de ese número de valores, menos uno, dividido entre doce.
Esta fórmula da uno coma veinticinco para cuatro valores; no sirve para etiquetas numéricas con separaciones arbitrarias, donde debemos promediar sus distancias reales.
Palabras y símbolos de esta lección
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- p_X(x) · Masa de probabilidad
Se lee: pe sub equis de x.
Es la probabilidad de un valor exacto de una variable discreta, que toma valores separados.
Ejemplo: Si P(X = 2) = 0,3, la masa en dos brotes es 0,3.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
- Q(u), q_u, F⁻¹(u) · Cuantil y percentil
Se lee: cuantil de u; cu sub u; inversa de la acumulada en u.
Busca un umbral que deja al menos la proporción u por debajo o en él. En una distribución con saltos puede superarla. No significa uno dividido entre F.
Ejemplo: El percentil 90 corresponde a u = 0,90.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
¿Qué significa elegir un instante uniformemente?
Elegimos un instante entre dos y seis minutos. Uniforme significa que intervalos de igual longitud tienen igual probabilidad. Entre tres y cinco hay dos minutos de los cuatro disponibles: la probabilidad es 2/4 = 0,5. La densidad es 1/4 por minuto.
En una lista discreta uniforme, cada valor tiene la misma probabilidad positiva. En un intervalo continuo, un punto aislado tiene probabilidad cero. Lo que permanece constante es la densidad. No podemos repartir una probabilidad positiva idéntica entre infinitos puntos y después sumarla como una lista finita.
Dos maneras de ser uniforme
En una uniforme discreta, cada valor de un conjunto finito tiene la misma masa. Si los valores son enteros consecutivos, la media y la varianza tienen fórmulas sencillas; si no lo son, hay que promediar sus valores reales. En una uniforme continua, la densidad es constante sobre un intervalo y las probabilidades son proporcionales a longitudes.
Decir que cada punto de un intervalo tiene la misma probabilidad positiva no define una uniforme continua: cada punto tiene probabilidad cero. Lo que se iguala es la densidad. La amplitud del intervalo determina su altura y su dispersión; desplazarlo cambia la media sin cambiar la varianza.
Fórmulas del apartado
Se lee: Densidad uniforme: uno dividido entre be menos a dentro del intervalo. La media es su punto medio y la varianza su anchura al cuadrado dividida entre doce.
La uniforme continua requiere b mayor que a; fuera del intervalo la densidad es cero.
Se lee: Para enteros consecutivos entre a y be, la media es el punto medio y la varianza usa el número de valores, be menos a más uno. No se aplica a una lista arbitraria.
Estas fórmulas discretas requieren enteros consecutivos equiprobables, no un conjunto arbitrario de valores.
Desarrollo escrito del ejemplo
El instante X de inspección se elige uniformemente dentro de una ventana experimental.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
Datos y supuestos
- Ventana [4, 10] minutos; intervalo solicitado [5,5, 8,5].
- La densidad es 1/(b−a) dentro de la ventana y cero fuera.
- Todos los intervalos de igual longitud dentro de la ventana tienen igual probabilidad.
- X es continua; los extremos individuales tienen probabilidad cero.
Calcula la probabilidad de caer en el intervalo solicitado.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula la probabilidad de caer en el intervalo solicitado. La densidad es constante y el área total es uno. Por ello una probabilidad de intervalo es su longitud dentro del soporte dividida entre la longitud total. No incluimos partes exteriores al soporte. Para este apartado: Divide la longitud del intervalo por la longitud total.
Comparar longitudes
(8,5 - 5,5)/(10 - 4) = 0,5.
Comprobar el área
La altura es 1/6 y la anchura es 3. Altura por anchura vuelve a dar 0,5. La acumulada en el extremo superior menos la del inferior calcula ese mismo rectángulo.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,5 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Uniforme significa densidad constante, no probabilidad positiva de cada instante exacto.
Uniforme significa densidad constante, no probabilidad positiva de cada instante exacto.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Un cuantil contesta la pregunta inversa: qué umbral deja una proporción dada por debajo o en él. Si una tabla asigna 0,2 a cero, 0,5 a uno y 0,3 a dos, un número uniforme 0,10 se asigna a cero; 0,55 a uno; 0,91 a dos. Los tramos tienen las longitudes de sus probabilidades.
Repetir esa generación es simulación Montecarlo: aproxima respuestas del modelo mediante muchos resultados simulados. Una semilla permite repetir los mismos resultados. Más repeticiones reducen la fluctuación de la simulación, pero no convierten un modelo equivocado en una descripción correcta del experimento.
De números uniformes a otros modelos
El cuantil busca el menor valor cuya acumulada alcanza la probabilidad solicitada. Esta definición por ínfimo funciona también en distribuciones con saltos, donde no existe una inversa ordinaria para toda probabilidad. Una uniforme entre cero y uno puede transformarse mediante los cuantiles de otra distribución para generar realizaciones de ella.
Montecarlo repite esa generación para aproximar probabilidades o expectativas. En una distribución discreta, los tramos de la acumulada actúan como casillas de asignación. Más simulaciones reducen la fluctuación bajo el modelo, pero no corrigen supuestos falsos. Este apartado trata simulación de distribuciones, no desarrolla el teorema central del límite.
Fórmulas del apartado
Se lee: Cuantil de u: el primer umbral cuya acumulada alcanza u. Generar una uniforme U y aplicar ese cuantil produce la distribución buscada. Ínfimo significa el menor límite en esta definición.
El cuantil generalizado transforma una uniforme en una variable con acumulada F.
Desarrollo escrito del ejemplo
El instante X de inspección se elige uniformemente dentro de una ventana experimental.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
Datos y supuestos
- Ventana [4, 10] minutos; intervalo solicitado [5,5, 8,5].
- La densidad es 1/(b−a) dentro de la ventana y cero fuera.
- Todos los intervalos de igual longitud dentro de la ventana tienen igual probabilidad.
- X es continua; los extremos individuales tienen probabilidad cero.
Calcula E[X].
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula E[X]. La densidad es constante y el área total es uno. Por ello una probabilidad de intervalo es su longitud dentro del soporte dividida entre la longitud total. No incluimos partes exteriores al soporte. Para este apartado: Por simetría, la esperanza está en el punto medio.
Usar la simetría del soporte
(4 + 10)/2 = 7.
Comprobar e interpretar
El resultado es 7 minutos. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Es el promedio de muchas inspecciones realizadas con este mecanismo.
Es el promedio de muchas inspecciones realizadas con este mecanismo.
De números uniformes a otros modelos
El cuantil busca el menor valor cuya acumulada alcanza la probabilidad solicitada. Esta definición por ínfimo funciona también en distribuciones con saltos, donde no existe una inversa ordinaria para toda probabilidad. Una uniforme entre cero y uno puede transformarse mediante los cuantiles de otra distribución para generar realizaciones de ella.
Montecarlo repite esa generación para aproximar probabilidades o expectativas. En una distribución discreta, los tramos de la acumulada actúan como casillas de asignación. Más simulaciones reducen la fluctuación bajo el modelo, pero no corrigen supuestos falsos. Este apartado trata simulación de distribuciones, no desarrolla el teorema central del límite.
Generar estados de una muestra
Una masa ficticia asigna 0,2 a cero, 0,5 a uno y 0,3 a dos. Un número uniforme de 0,10 produce cero; uno de 0,55 produce uno; uno de 0,91 produce dos. Los intervalos del generador tienen longitudes iguales a las masas. Así, la simulación reproduce las probabilidades sin exigir que los tres valores sean equiprobables.
Ejemplo resuelto
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