Normal: tipificación, colas y cuantiles
Apuntes, tema 3 · 3.2.3 y 3.2.4: normal y acumulada; asociación con ejercicios 2.7 y 2.8Abrir el PDF en la página 15
Objetivos de la lección
- Tipificar usando desviación típica, no varianza.
- Resolver intervalos, colas y umbrales mediante la normal estándar.
Apartado 1 de 4
Medir una distancia en desviaciones
Transcripción
Hola, una longitud se modela como normal de media cuarenta milímetros y desviación típica cuatro: son su centro y su escala de dispersión.
Queremos situar cuarenta y ocho respecto de esos valores.
Primero declaramos el modelo: no concluimos normalidad solo porque conozcamos una media y una desviación.
Mu nombra la media y sigma la desviación típica, que debe ser positiva.
En nuestra notación normal el segundo parámetro es sigma al cuadrado: cuatro al cuadrado da varianza dieciséis.
Por eso escribimos normal de cuarenta y dieciséis, aunque para medir distancias usaremos cuatro.
Para saber cuánto se aparta cuarenta y ocho del centro restamos la media cuarenta.
La diferencia es ocho milímetros, positiva porque estamos a la derecha del centro.
Restar centra la medida, pero todavía conserva sus unidades originales.
Dividimos esos ocho milímetros entre cuatro milímetros por desviación.
El resultado es dos: cuarenta y ocho queda dos desviaciones por encima de la media.
Dividir entre la varianza dieciséis sería incorrecto y ni siquiera cancelaría las unidades de la misma manera.
La regla general zeta igual a equis menos mu dividido entre sigma realiza esos dos cambios: centra y expresa distancias en desviaciones.
Si equis es normal, zeta es normal de media cero y varianza uno.
Podemos así comparar áreas usando una sola distribución estándar; no estamos añadiendo datos ni haciendo normal una variable que no lo era.
La campana es simétrica respecto de mu y allí coinciden media, mediana y moda.
Su soporte es toda la recta, incluidas longitudes negativas matemáticamente posibles.
Para una medida necesariamente positiva debemos comprobar que esa probabilidad absurda sea despreciable; una aproximación útil no convierte en físicamente posibles todos los valores del modelo.
Palabras y símbolos de esta lección
- X ∼ N(μ,σ²), Φ(z) · Normal y acumulada estándar
Se lee: equis sigue una normal de media mu y varianza sigma al cuadrado; fi de zeta.
∼ significa sigue la distribución. Φ devuelve el área a la izquierda en una normal de media cero y desviación uno.
Ejemplo: Φ(0) = 0,5: la mitad de la campana queda a la izquierda de su centro.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
- z = (x−μ)/σ · Tipificar
Se lee: zeta es equis menos mu dividido entre sigma.
Resta la media y divide por la desviación típica. El resultado indica cuántas desviaciones separan el valor del centro.
Ejemplo: Con media 40 y desviación 4, el valor 48 está a dos desviaciones: z = 2.
- Q(u), q_u, F⁻¹(u) · Cuantil y percentil
Se lee: cuantil de u; cu sub u; inversa de la acumulada en u.
Busca un umbral que deja al menos la proporción u por debajo o en él. En una distribución con saltos puede superarla. No significa uno dividido entre F.
Ejemplo: El percentil 90 corresponde a u = 0,90.
- eˣ, exp(x) · Exponencial natural
Se lee: e elevado a x; exponencial de x.
Son dos escrituras de la misma función. La base e vale aproximadamente 2,71828. Una calculadora científica permite evaluarla.
Ejemplo: e⁰ = 1; exp(−1) es aproximadamente 0,3679.
- √x · Raíz cuadrada
Se lee: raíz cuadrada de x.
Devuelve el número no negativo cuyo cuadrado es x. Se usa con x no negativo.
Ejemplo: La raíz de 9 es 3 porque 3 × 3 = 9.
- π · Constante pi
Se lee: el número pi.
Es una constante matemática, aproximadamente 3,14159. En una fórmula de densidad normal no es un parámetro que se estime ni una probabilidad.
Ejemplo: Dos por pi es aproximadamente 6,28318.
¿Cómo comparamos una longitud con el centro de su grupo?
Un modelo normal describe una campana simétrica mediante una media mu y una desviación típica sigma positiva. En una longitud con media cuarenta milímetros y desviación cuatro, cuarenta es el centro y cuatro fija la escala de dispersión. No toda medida biológica tiene por qué seguir esa campana.
Para comparar cuarenta y ocho con el centro restamos 40 y dividimos entre 4: (48 − 40)/4 = 2. Está dos desviaciones por encima. Esta operación se llama tipificar y su resultado z ya no tiene unidades. Se divide por la desviación, no por la varianza dieciséis.
Centro y escala de una campana
Una normal se define por una media y una varianza positiva. Su densidad es simétrica y tiene soporte en toda la recta real. Media, mediana y moda coinciden. Al modelar una magnitud necesariamente positiva, revisa si la masa asignada a valores negativos es despreciable o si otra familia sería más coherente.
Tipificar resta la media y divide por la desviación típica. El resultado indica cuántas desviaciones separan un valor del centro y sigue una normal estándar. En este curso, el segundo parámetro de la notación normal es la varianza; los programas suelen pedir la desviación típica como argumento. Hay que traducir explícitamente entre ambas.
Centro y escala de una campana
Una normal se define por una media y una varianza positiva. Su densidad es simétrica y tiene soporte en toda la recta real. Media, mediana y moda coinciden. Al modelar una magnitud necesariamente positiva, revisa si la masa asignada a valores negativos es despreciable o si otra familia sería más coherente.
Tipificar resta la media y divide por la desviación típica. El resultado indica cuántas desviaciones separan un valor del centro y sigue una normal estándar. En este curso, el segundo parámetro de la notación normal es la varianza; los programas suelen pedir la desviación típica como argumento. Hay que traducir explícitamente entre ambas.
Fórmulas del apartado
Se lee: Equis sigue una normal con media mu y varianza sigma al cuadrado. La densidad dibuja la campana. Para tipificar, zeta es equis menos mu dividido entre sigma y sigue una normal de media cero y varianza uno.
Sigma es desviación típica positiva y sigma al cuadrado es varianza.
Hacer la cuenta y entender el resultado
La función Φ, fi mayúscula, devuelve el área a la izquierda en la normal estándar. Φ(2) es aproximadamente 0,9772. Por encima de cuarenta y ocho queda 1 − 0,9772 = 0,0228. Un intervalo resta las áreas acumuladas de sus dos límites tipificados.
El percentil noventa pregunta qué longitud deja el 90 % por debajo. Consultamos el cuantil estándar 1,2816 y volvemos a milímetros: 40 + 4 × 1,2816 ≈ 45,13. En , el segundo parámetro es la varianza; una calculadora puede pedir sigma directamente.
Acumuladas y umbrales
La acumulada estándar no tiene una primitiva elemental sencilla y se calcula con software o tablas. Una cola derecha es uno menos la acumulada; un intervalo resta dos acumuladas. Un cuantil hace la pregunta inversa: busca el umbral que deja una proporción dada por debajo.
Una transformación lineal de una normal es normal, salvo el caso constante degenerado. También lo es una combinación lineal de normales independientes. Tener muchas observaciones no vuelve normal cualquier variable individual. Aquí se estudia la distribución normal suministrada, no se usa el teorema central del límite como justificación automática.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad entre a y be: fi del límite superior tipificado menos fi del inferior. El cuantil u en unidades originales es mu más sigma por el cuantil estándar correspondiente.
Phi es la acumulada normal estándar; un cuantil deja la proporción u por debajo.
Longitud ficticia de un tejido
Una longitud se aproxima por una normal con media 40 milímetros y desviación típica 4. El umbral 48 se tipifica a dos y la cola superior es aproximadamente 0,0228. El percentil 90 usa un cuantil estándar aproximado de 1,2816 y queda en 45,13 milímetros. Ninguna de estas cifras es un umbral clínico.
Desarrollo escrito del ejemplo
La longitud X de un tipo de célula se modeliza con una distribución normal.
Datos y supuestos
- Media μ = 24 micrómetros; desviación típica σ = 4 micrómetros (no varianza).
- Intervalo: [20, 32]; soporte teórico: toda la recta real.
- El modelo normal es una aproximación adecuada en el rango de interés.
- No se está afirmando que todas las longitudes biológicas sigan una normal.
Calcula P(μ−σ ≤ X ≤ μ+2σ).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(μ−σ ≤ X ≤ μ+2σ). Restar la media y dividir por la desviación típica traduce el umbral a desviaciones respecto al centro. Phi acumula la normal estándar; un intervalo resta dos acumuladas y una cola derecha usa el complemento. Un cuantil invierte esta operación. Para este apartado: Tipifica los extremos y resta las acumuladas.
Tipificar
(20 - 24)/4 = -1; (32 - 24)/4 = 2.
Consultar las dos áreas
Φ se lee fi y da el área a la izquierda. Una tabla o calculadora normal da Φ(2) = 0,9772499 y Φ(−1) = 0,1586553.
Restar las áreas
La primera área incluye también todo lo que queda a la izquierda de −1. Lo quitamos: 0,9772499 − 0,1586553 = 0,8185946. Queda solo el intervalo entre ambos umbrales.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,8185946 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Los límites abiertos o cerrados no cambian la probabilidad continua.
Los límites abiertos o cerrados no cambian la probabilidad continua.
Acumuladas y umbrales
La acumulada estándar no tiene una primitiva elemental sencilla y se calcula con software o tablas. Una cola derecha es uno menos la acumulada; un intervalo resta dos acumuladas. Un cuantil hace la pregunta inversa: busca el umbral que deja una proporción dada por debajo.
Una transformación lineal de una normal es normal, salvo el caso constante degenerado. También lo es una combinación lineal de normales independientes. Tener muchas observaciones no vuelve normal cualquier variable individual. Aquí se estudia la distribución normal suministrada, no se usa el teorema central del límite como justificación automática.
Desarrollo escrito del ejemplo
La longitud X de un tipo de célula se modeliza con una distribución normal.
Datos y supuestos
- Media μ = 24 micrómetros; desviación típica σ = 4 micrómetros (no varianza).
- Intervalo: [20, 32]; soporte teórico: toda la recta real.
- El modelo normal es una aproximación adecuada en el rango de interés.
- No se está afirmando que todas las longitudes biológicas sigan una normal.
Calcula el percentil 95 de X.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula el percentil 95 de X. Restar la media y dividir por la desviación típica traduce el umbral a desviaciones respecto al centro. Phi acumula la normal estándar; un intervalo resta dos acumuladas y una cola derecha usa el complemento. Un cuantil invierte esta operación. Para este apartado: Busca primero z con Φ(z)=0,95 y deshaz la tipificación.
Buscar un área, no una altura
Buscamos en una tabla o calculadora el z que deja el 95 % del área a su izquierda: Φ(z)=0,95. Ese z es aproximadamente 1,644854; Φ inversa deshace la acumulación.
Volver a la escala original
24 + 4 × 1,644854 = 30,57941 micrómetros. Multiplicamos por la desviación para recuperar unidades y sumamos la media para recuperar el centro.
Comprobar e interpretar
El resultado es 30,57941 micrómetros. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Bajo el modelo, el 95% de las longitudes no supera ese valor.
Bajo el modelo, el 95% de las longitudes no supera ese valor.