Hipergeométrica: muestrear sin reemplazo
Apuntes, tema 3 · 3.1.5: modelo hipergeométrico; asociación con ejercicio 2.9Abrir el PDF en la página 8
Objetivos de la lección
- Identificar una población finita con composición conocida.
- Determinar el soporte antes de usar la fórmula.
Apartado 1 de 3
Contar muestras de un lote finito
Transcripción
Hola, elegimos tres semillas sin reemplazo de un lote de doce, con cuatro de la variedad de interés y ocho restantes: esos son los tamaños del diseño.
Equis contará cuántas son de la variedad.
Como lo retirado ya no está disponible, debemos contar muestras de un conjunto finito, no repetir ensayos con composición inalterada.
Ene mayúscula indica las doce semillas de la población, ka mayúscula las cuatro de interés y ene minúscula las tres plazas de la muestra.
La hipergeométrica supone que todos los subconjuntos de tres semillas tienen la misma probabilidad.
El orden de extracción no cambia qué muestra de tres hemos elegido.
Para obtener exactamente una semilla de interés, primero elegimos cuál de las cuatro será.
La combinación cuatro sobre uno vale cuatro.
Contamos semillas distintas aunque pertenezcan a la misma variedad: cada una puede formar muestras diferentes.
Quedan dos plazas que deben proceder de las ocho semillas restantes; de otro modo dejaríamos de tener exactamente una de interés.
La combinación ocho sobre dos cuenta las parejas sin duplicarlas por cambiar su orden: ocho por siete dividido entre dos da veintiocho.
Cada una de las cuatro elecciones de interés puede acompañarse de cualquiera de las veintiocho parejas restantes.
Por esa regla del producto hay ciento doce muestras favorables.
Esta multiplicación cuenta opciones compatibles; no supone independencia probabilística entre extracciones.
Todavía tenemos un número de muestras, no una probabilidad: falta compararlo con todas las muestras equiprobables.
Mezclar bien el lote puede justificar esa equiprobabilidad, pero no vuelve independientes las extracciones.
Si retiramos una semilla de interés quedan tres de once; si retiramos otra, quedan cuatro de once.
Palabras y símbolos de esta lección
- n, p, k, r · Ensayos y éxitos
Se lee: ene; pe; ka; erre.
n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.
Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.
- C(n,k), binom(n,k) · Combinaciones
Se lee: ene sobre ka; combinaciones de ene elementos tomados de ka en ka.
Cuenta grupos de k elementos elegidos de n sin repetir y sin distinguir el orden. La notación vertical de dos números no es una fracción.
Ejemplo: De A, B y C salen tres parejas: AB, AC y BC.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- Soporte, ℝ, ℕ, ∞ · Valores permitidos
Se lee: soporte; números reales; números naturales; infinito.
El soporte delimita dónde puede estar la variable. ℝ incluye números negativos, positivos y decimales. Aquí siempre se indica si los enteros empiezan en cero o en uno. Infinito no es un número que se sustituya.
Ejemplo: Un recuento puede valer 0, 1, 2…; un tiempo no puede ser negativo.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
¿Qué cambia cuando no devolvemos lo que extraemos?
Un lote tiene doce semillas y cuatro son de una variedad. Elegimos tres sin devolverlas. Tras cada extracción cambia lo disponible: las selecciones no son ensayos independientes con una probabilidad fija. La hipergeométrica describe este muestreo sin reemplazo.
Usamos N para el tamaño del lote, K para las semillas de interés y n para el tamaño de muestra. k es cuántas de interés queremos obtener. Cada grupo de n semillas debe tener la misma probabilidad de ser elegido; una selección con preferencias requeriría otro modelo.
El contenido disponible cambia
La hipergeométrica cuenta elementos de una categoría al seleccionar, sin reemplazo y de forma uniforme, una muestra de una población finita. Sus parámetros son el tamaño total de la población, el número de elementos de la categoría y el tamaño de la muestra. Las extracciones no son independientes: lo retirado ya no está disponible.
El numerador cuenta selecciones con el número deseado de elementos de la categoría y el resto fuera de ella. El denominador cuenta todas las selecciones de ese tamaño. Esta derivación depende de que cada subconjunto sea igualmente probable. Un muestreo con preferencia por ciertos individuos necesita otro modelo.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Para exactamente una de interés elegimos una entre cuatro y dos entre las ocho restantes: 4 × 28 = 112 grupos favorables. En total hay 220 grupos de tres entre doce. La probabilidad es 112/220, aproximadamente 0,509. Las combinaciones cuentan grupos, no posiciones.
Antes de calcular revisamos los límites: no podemos sacar más semillas de interés que K ni más que n. A veces tampoco podemos sacar cero, si no quedan suficientes de la otra categoría. La corrección por población finita reduce la varianza frente a una binomial comparable.
El contenido disponible cambia
La hipergeométrica cuenta elementos de una categoría al seleccionar, sin reemplazo y de forma uniforme, una muestra de una población finita. Sus parámetros son el tamaño total de la población, el número de elementos de la categoría y el tamaño de la muestra. Las extracciones no son independientes: lo retirado ya no está disponible.
El numerador cuenta selecciones con el número deseado de elementos de la categoría y el resto fuera de ella. El denominador cuenta todas las selecciones de ese tamaño. Esta derivación depende de que cada subconjunto sea igualmente probable. Un muestreo con preferencia por ciertos individuos necesita otro modelo.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad de ka: elegir ka de los ka mayúscula elementos de interés y ene menos ka del resto, dividido entre todas las muestras. Máximo y mínimo fijan los recuentos posibles.
N es el total, K los elementos de interés y n el tamaño de una muestra uniforme sin reemplazo.
Lote de semillas catalogadas
Un lote ficticio tiene doce semillas, cuatro de una variedad. Se eligen tres sin reemplazo. La probabilidad de obtener exactamente una de esa variedad es cuatro por veintiocho dividido entre doscientas veinte, aproximadamente 0,509. El recuento esperado es uno. Las extracciones son dependientes aunque el lote esté bien mezclado.
Desarrollo escrito del ejemplo
Se extraen organismos de una colección finita sin reemplazo y X cuenta los portadores de una variante.
- n, p, k, r · Ensayos y éxitos
Se lee: ene; pe; ka; erre.
n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.
Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.
- C(n,k), binom(n,k) · Combinaciones
Se lee: ene sobre ka; combinaciones de ene elementos tomados de ka en ka.
Cuenta grupos de k elementos elegidos de n sin repetir y sin distinguir el orden. La notación vertical de dos números no es una fracción.
Ejemplo: De A, B y C salen tres parejas: AB, AC y BC.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
Datos y supuestos
- N=30 organismos, K=8 portadores, n=6 extracciones, k=2.
- Soporte entero: 0 ≤ X ≤ 6.
- Todas las muestras de n organismos son equiprobables.
- Sin reemplazo: las extracciones no son ensayos Bernoulli independientes.
Calcula P(X = k).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X = k). La selección es uniforme y sin reemplazo. Contamos por separado los elementos de interés y los restantes con combinaciones, multiplicamos ambas elecciones y dividimos por todas las selecciones del tamaño solicitado. Para este apartado: Cuenta las formas de elegir portadores y no portadores, y divide por todas las muestras.
Contar muestras favorables
Elegir 2 de 8 portadores da 28 grupos. Elegir 4 de los 22 restantes da 7315. Multiplicamos porque cada elección del primer grupo puede combinarse con cada elección del segundo.
Contar todas las muestras
Elegimos 6 organismos de 30 sin atender al marcador: C(30,6) = 593775 muestras posibles, todas con la misma probabilidad.
Dividir favorables entre posibles
28 × 7315 / 593775 = 0,3449455. Hemos contado grupos, no secuencias de extracción.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,3449455 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. La dependencia por agotamiento de la colección impide sustituir automáticamente este modelo por una binomial.
La dependencia por agotamiento de la colección impide sustituir automáticamente este modelo por una binomial.
Calcula P(X ≥ k), incluyendo k.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X ≥ k), incluyendo k. La selección es uniforme y sin reemplazo. Contamos por separado los elementos de interés y los restantes con combinaciones, multiplicamos ambas elecciones y dividimos por todas las selecciones del tamaño solicitado. Para este apartado: El complemento termina en k−1.
Elegir el complemento
Al menos 2 incluye 2. Lo contrario es observar menos de 2, es decir, los recuentos del soporte hasta 1.
Sumar lo excluido y restarlo
La acumulada hipergeométrica suma esas masas y da 0,4804598. Una tabla o calculadora permite obtener esa suma. Restamos de uno: 1 − 0,4804598 = 0,5195402.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,5195402 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Esta cola incluye exactamente k portadores y todos los valores superiores del soporte.
Esta cola incluye exactamente k portadores y todos los valores superiores del soporte.
Los límites también contienen información
No se pueden obtener más elementos de la categoría que los existentes ni más que el tamaño de la muestra. A veces tampoco se puede obtener cero: si la muestra es mayor que toda la categoría contraria, algunos elementos de interés son obligatorios. Estos límites determinan el soporte antes de calcular.
La media se parece a la binomial, pero la varianza incluye una corrección por población finita. Esa corrección reduce la dispersión por la dependencia de las extracciones. Cuando la fracción muestreada es pequeña, una aproximación binomial puede ser útil, pero se debe declarar y no borrar el mecanismo sin reemplazo.
Fórmulas del apartado
Se lee: La media es tamaño de muestra por proporción de interés. La varianza binomial se multiplica por ene mayúscula menos ene, dividido entre ene mayúscula menos uno.
Para N mayor que uno, la corrección finita reduce la varianza frente a una binomial comparable.