Geométrica y binomial negativa: esperar éxitos
Apuntes, tema 3 · 3.1.6 y 3.1.7: geométrica o Pascal y binomial negativaAbrir el PDF en la página 9
Objetivos de la lección
- Distinguir fracasos antes del éxito de ensayos hasta el éxito.
- Interpretar la binomial negativa y su sobredispersión.
Apartado 1 de 4
La condición de parada define qué contamos
Transcripción
Hola.
Probamos colonias hasta detectar una señal por primera vez.
A diferencia de la binomial, no fijamos cuántos ensayos haremos: fijamos qué resultado nos hará parar.
La variable geométrica describirá lo que ocurre antes de esa primera detección.
Suponemos ensayos independientes con probabilidad de éxito pe constante, aquí cuatro décimas.
El PDF llama equis al número de fallos anteriores y empieza en cero; te cuenta todos los ensayos y empieza en uno.
En general exigimos pe positiva y como máximo uno, para que la detección sea posible.
Si detectamos en el primer intento, equis vale cero y te uno: no hubo fallos, pero sí un ensayo.
Siempre obtenemos te añadiendo uno a equis, el ensayo exitoso final.
Con pe uno el resultado es seguro; con pe cero nunca alcanzaríamos la parada y no tendríamos esta distribución de espera finita.
Exactamente dos fallos previos exige fallo, fallo y éxito en ese orden; cualquier éxito anterior habría detenido el experimento.
Cada fallo pesa seis décimas.
Por independencia multiplicamos seis décimas dos veces y cuatro décimas por la detección final: la masa en dos es cero coma ciento cuarenta y cuatro.
La misma lógica da la masa en ka: ka fracasos aportan uno menos pe a la ka, y el éxito que cierra la espera aporta pe.
No hay un coeficiente de posiciones porque el orden está obligado.
Ka recorre los enteros desde cero sin máximo prefijado; fuera de ellos la masa vale cero.
La media teórica de fallos es uno menos pe entre pe.
Con cuatro décimas da una coma cinco fallos por espera, no medio fallo en un experimento concreto.
Para la media de ensayos añadimos el éxito final y obtenemos dos coma cinco.
La definición de lo contado decide cuál de estos dos promedios responde a la pregunta.
Palabras y símbolos de esta lección
- n, p, k, r · Ensayos y éxitos
Se lee: ene; pe; ka; erre.
n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.
Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- C(n,k), binom(n,k) · Combinaciones
Se lee: ene sobre ka; combinaciones de ene elementos tomados de ka en ka.
Cuenta grupos de k elementos elegidos de n sin repetir y sin distinguir el orden. La notación vertical de dos números no es una fracción.
Ejemplo: De A, B y C salen tres parejas: AB, AC y BC.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
¿Fijamos el número de intentos o esperamos hasta detectar?
Cada prueba detecta una señal con probabilidad 0,4, de forma independiente y sin alterar el sistema. Si repetimos hasta la primera detección, el número de intentos no está fijado. Lo que fijamos es cuándo paramos. Esto diferencia la geométrica de una binomial.
Hay dos maneras de contar: fracasos antes del éxito o ensayos incluidos el éxito. Si acertamos a la primera, los fracasos son cero y los ensayos uno. La teoría usa X para fracasos; un ejercicio que use T para ensayos debe indicar T = X + 1.
La condición de parada define la variable
La geométrica del documento cuenta fracasos antes del primer éxito en ensayos Bernoulli independientes con probabilidad constante. Se exige una probabilidad de éxito mayor que cero y como máximo uno. Con probabilidad cero nunca se alcanza el éxito y no hay una distribución propia del número finito de fracasos; con probabilidad uno ese número es cero con certeza. Su soporte empieza en cero: el primer ensayo puede ser ya un éxito. Otra convención cuenta ensayos hasta el éxito y empieza en uno. Ambas describen el mismo mecanismo, pero difieren en una unidad y en su media.
La binomial negativa cuenta fracasos antes de alcanzar un número fijado de éxitos. Usa el mismo dominio para la probabilidad y un objetivo r entero positivo en esta interpretación; la extensión de forma admite r real positivo. Para un número entero de éxitos, el último ensayo debe ser el éxito que completa la meta, y el coeficiente combinatorio cuenta las posiciones de los éxitos anteriores. Es importante no confundir este diseño de parada con la binomial, cuyo número de ensayos está fijado.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad de ka fracasos antes del primer éxito: uno menos pe elevado a ka por pe. La media y la varianza cuentan fracasos, desde cero.
X cuenta fracasos antes del primer éxito; si se cuentan ensayos, se usa X más uno.
Detección repetida ficticia
Cada ensayo detecta una señal con probabilidad 0,4, sin alterar el sistema. La probabilidad de dos fracasos antes del primer éxito es 0,6 al cuadrado por 0,4, que vale 0,144. Se esperan 1,5 fracasos o 2,5 ensayos hasta detectar. Son medias de variables diferentes, no dos respuestas incompatibles.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Dos fracasos y después éxito tienen probabilidad 0,6 × 0,6 × 0,4 = 0,144. La media es 1,5 fracasos o 2,5 ensayos, según qué contemos. No son dos respuestas contradictorias: son variables diferentes. Cada resultado observado sigue siendo un entero.
La binomial negativa espera hasta un número r de éxitos y cuenta los fracasos previos. El último intento debe ser el éxito que completa la meta. Con probabilidad estable, esperar sin éxito no cambia las posibilidades del siguiente intento; si el sistema aprende o se agota, ese supuesto deja de ser adecuado.
La condición de parada define la variable
La geométrica del documento cuenta fracasos antes del primer éxito en ensayos Bernoulli independientes con probabilidad constante. Se exige una probabilidad de éxito mayor que cero y como máximo uno. Con probabilidad cero nunca se alcanza el éxito y no hay una distribución propia del número finito de fracasos; con probabilidad uno ese número es cero con certeza. Su soporte empieza en cero: el primer ensayo puede ser ya un éxito. Otra convención cuenta ensayos hasta el éxito y empieza en uno. Ambas describen el mismo mecanismo, pero difieren en una unidad y en su media.
La binomial negativa cuenta fracasos antes de alcanzar un número fijado de éxitos. Usa el mismo dominio para la probabilidad y un objetivo r entero positivo en esta interpretación; la extensión de forma admite r real positivo. Para un número entero de éxitos, el último ensayo debe ser el éxito que completa la meta, y el coeficiente combinatorio cuenta las posiciones de los éxitos anteriores. Es importante no confundir este diseño de parada con la binomial, cuyo número de ensayos está fijado.
Fórmulas del apartado
Se lee: Para esperar erre éxitos, contamos las posiciones anteriores al éxito final y multiplicamos por pe elevado a erre y uno menos pe elevado a ka. La media de fracasos es erre por uno menos pe entre pe.
Para r entero positivo, Y cuenta fracasos antes del éxito número r; para r real se generaliza el coeficiente.
Desarrollo escrito del ejemplo
Se examinan colonias independientes hasta encontrar r que expresan un marcador. F cuenta solo los fallos anteriores al éxito número r.
- n, p, k, r · Ensayos y éxitos
Se lee: ene; pe; ka; erre.
n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.
Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.
- C(n,k), binom(n,k) · Combinaciones
Se lee: ene sobre ka; combinaciones de ene elementos tomados de ka en ka.
Cuenta grupos de k elementos elegidos de n sin repetir y sin distinguir el orden. La notación vertical de dos números no es una fracción.
Ejemplo: De A, B y C salen tres parejas: AB, AC y BC.
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
Datos y supuestos
- r=4 éxitos, p=0,25, k=0 fallos.
- Soporte F=0,1,2,...; el total de ensayos es T=F+r. F=0 significa r éxitos iniciales consecutivos.
- Ensayos Bernoulli independientes con probabilidad de éxito constante.
- El objetivo r es un número entero positivo de éxitos. La variable F cuenta los fallos anteriores, no el total de ensayos; para contar ensayos añadiríamos r.
Calcula P(F=k).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(F=k). Contamos fracasos antes del éxito número r. El último ensayo es necesariamente un éxito; el coeficiente cuenta cómo colocar los r menos uno éxitos anteriores. El total de ensayos varía, a diferencia del diseño binomial. Para este apartado: El último ensayo es un éxito; distribuye los otros r−1 éxitos entre los k+r−1 anteriores.
Fijar la parada
Hay 4 ensayos, con el último éxito fijado; quedan 3 éxitos y 0 fallos por ordenar.
Ponderar los patrones
C(3,0) × 0,25^4 × 0,75^0 = 0,00390625.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,00390625 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. No es una binomial con un número de ensayos fijado de antemano.
No es una binomial con un número de ensayos fijado de antemano.
Calcula P(F≤k), incluyendo cero y k.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(F≤k), incluyendo cero y k. Contamos fracasos antes del éxito número r. El último ensayo es necesariamente un éxito; el coeficiente cuenta cómo colocar los r menos uno éxitos anteriores. El total de ensayos varía, a diferencia del diseño binomial. Para este apartado: Suma las masas desde cero hasta k, sin desplazar el soporte.
Delimitar los fallos
Los valores incluidos son los enteros de 0 a 0; no se suman r ensayos al argumento de la CDF.
Sumar las masas
Aplicamos la fórmula anterior a cada número de fallos. Las probabilidades son, aproximadamente, 0,00390625. Suman 0,00390625; la función de acumulada calcula esa misma suma.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,00390625 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Con k=0, la acumulada coincide con la masa p^r de no observar ningún fallo.
Con k=0, la acumulada coincide con la masa p^r de no observar ningún fallo.
Memoria y heterogeneidad
La geométrica carece de memoria: si todavía no hubo éxito, la distribución del número adicional de ensayos hasta él no cambia, bajo las hipótesis constantes. Si los intentos alteran el sistema o existe aprendizaje, esa hipótesis pierde sentido.
La binomial negativa también se usa como modelo de recuentos con varianza mayor que la media. El documento permite extender su parámetro de forma más allá de enteros. En esa extensión ya no siempre se interpreta literalmente como esperar un número entero de éxitos; es una familia flexible que puede representar heterogeneidad o agrupamientos. La explicación causal debe justificarse por separado.
Desarrollo escrito del ejemplo
Se examinan colonias independientes hasta encontrar r que expresan un marcador. F cuenta solo los fallos anteriores al éxito número r.
- n, p, k, r · Ensayos y éxitos
Se lee: ene; pe; ka; erre.
n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.
Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.
- C(n,k), binom(n,k) · Combinaciones
Se lee: ene sobre ka; combinaciones de ene elementos tomados de ka en ka.
Cuenta grupos de k elementos elegidos de n sin repetir y sin distinguir el orden. La notación vertical de dos números no es una fracción.
Ejemplo: De A, B y C salen tres parejas: AB, AC y BC.
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
Datos y supuestos
- r=4 éxitos, p=0,25, k=0 fallos.
- Soporte F=0,1,2,...; el total de ensayos es T=F+r. F=0 significa r éxitos iniciales consecutivos.
- Ensayos Bernoulli independientes con probabilidad de éxito constante.
- El objetivo r es un número entero positivo de éxitos. La variable F cuenta los fallos anteriores, no el total de ensayos; para contar ensayos añadiríamos r.
Calcula E[F], el número esperado de fallos.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula E[F], el número esperado de fallos. Contamos fracasos antes del éxito número r. El último ensayo es necesariamente un éxito; el coeficiente cuenta cómo colocar los r menos uno éxitos anteriores. El total de ensayos varía, a diferencia del diseño binomial. Para este apartado: Suma las esperanzas de las r esperas geométricas que cuentan fallos.
Separar las esperas
Cada tramo hasta un éxito aporta (1-p)/p = 3 fallos esperados.
Sumar r tramos
4 × 0,75/0,25 = 12.
Comprobar e interpretar
El resultado es 12 fallos esperados. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Es una esperanza, posiblemente fraccionaria; E[T]=E[F]+r=16, pero cada recuento observado es entero.
Es una esperanza, posiblemente fraccionaria; E[T]=E[F]+r=16, pero cada recuento observado es entero.
Calcula Var(F).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula Var(F). Contamos fracasos antes del éxito número r. El último ensayo es necesariamente un éxito; el coeficiente cuenta cómo colocar los r menos uno éxitos anteriores. El total de ensayos varía, a diferencia del diseño binomial. Para este apartado: Las r esperas geométricas son independientes.
Usar la varianza de un tramo
Un tramo tiene varianza (1-p)/p² = 12.
Sumar las varianzas
4 × 0,75/0,25² = 48.
Comprobar e interpretar
El resultado es 48 fallos al cuadrado. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La varianza supera la media; añadir la constante r para contar ensayos no cambia la varianza.
La varianza supera la media; añadir la constante r para contar ensayos no cambia la varianza.
Memoria y heterogeneidad
La geométrica carece de memoria: si todavía no hubo éxito, la distribución del número adicional de ensayos hasta él no cambia, bajo las hipótesis constantes. Si los intentos alteran el sistema o existe aprendizaje, esa hipótesis pierde sentido.
La binomial negativa también se usa como modelo de recuentos con varianza mayor que la media. El documento permite extender su parámetro de forma más allá de enteros. En esa extensión ya no siempre se interpreta literalmente como esperar un número entero de éxitos; es una familia flexible que puede representar heterogeneidad o agrupamientos. La explicación causal debe justificarse por separado.