Gamma: sumar esperas y separar forma de escala
Apuntes, tema 3 · 3.2.5: gamma, propiedades y sumas con escala comúnAbrir el PDF en la página 16
Objetivos de la lección
- Interpretar los parámetros de forma y escala.
- Reconocer cuándo una suma de esperas es gamma.
Apartado 1 de 4
Sumar esperas compatibles
Transcripción
Hola, supongamos tres etapas sucesivas con esperas exponenciales independientes y escala común dos minutos: ese será nuestro mecanismo de reacción.
Queremos el tiempo total, que suma las tres esperas.
No es el tiempo de una sola etapa ni la mayor de ellas; la independencia y la escala común permitirán describir la suma mediante una gamma.
La suma sigue una gamma de forma ka tres y escala alfa dos.
Aquí escribimos primero forma y después escala, etiquetadas para no confundirlas con el orden del PDF.
La forma cuenta etapas en esta interpretación entera; la escala conserva unidades de tiempo.
El soporte son tiempos positivos sin máximo fijado.
La esperanza del total suma las esperanzas porque estamos sumando tiempos.
Cada etapa tiene media dos minutos y hay tres, de modo que tres por dos da seis minutos.
La linealidad de esta media no exige independencia; la necesitamos para la distribución gamma y para la siguiente cuenta de dispersión.
Cada espera exponencial tiene varianza igual al cuadrado de su escala: cuatro minutos cuadrados.
Como las etapas son independientes, no aparecen covarianzas y sumamos tres varianzas de cuatro.
La varianza total vale doce, no el cuadrado de la media seis ni la suma de desviaciones.
El resumen es media seis minutos y varianza doce minutos cuadrados.
Escala dos minutos corresponde a tasa una mitad por minuto; intercambiarlas cambiaría todas las cuentas.
La historia de tres etapas requiere independencia y escala común: ajustar una gamma a duraciones no demuestra por sí solo esa historia.
Palabras y símbolos de esta lección
- k, β · Forma de una distribución
Se lee: ka; beta.
k es la forma gamma y β la forma Weibull. Son números positivos sin unidades, no probabilidades. La forma modifica el reparto de los tiempos.
Ejemplo: Gamma con k = 3 puede sumar tres esperas; Weibull con β = 1 es exponencial.
- α · Escala temporal
Se lee: alfa.
En las lecciones de tiempos, una escala positiva estira o encoge la duración. En la exponencial coincide con el tiempo medio; su inversa es la tasa.
Ejemplo: Escala 5 minutos: tasa exponencial 1/5 = 0,2 por minuto.
- r, λ · Tasa de una espera exponencial
Se lee: erre; lambda.
Una tasa mide eventos por unidad de tiempo; es la inversa de la escala temporal. Algunas fórmulas la llaman r y otras λ. No se debe confundir con la media de un recuento Poisson: al multiplicar la tasa por una duración obtenemos esa media.
Ejemplo: Tasa 0,2 por minuto: escala exponencial 1/0,2 = 5 minutos. En tres minutos la media Poisson es 0,6 eventos.
- Γ(k) · Función gamma
Se lee: gamma de ka.
Es una función distinta de la distribución gamma. Para enteros positivos, Γ(k) vale (k−1) factorial; con otros valores positivos se evalúa con una calculadora o biblioteca.
Ejemplo: Γ(3) = 2! = 2.
- eˣ, exp(x) · Exponencial natural
Se lee: e elevado a x; exponencial de x.
Son dos escrituras de la misma función. La base e vale aproximadamente 2,71828. Una calculadora científica permite evaluarla.
Ejemplo: e⁰ = 1; exp(−1) es aproximadamente 0,3679.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
¿Qué modelo describe la suma de varias esperas?
Una reacción ficticia necesita tres etapas. Cada etapa espera de forma exponencial con media dos minutos y las esperas son independientes. El tiempo total sigue una gamma con forma k = 3 y escala alfa = 2 minutos. Conservamos esas letras también en los ejercicios.
La media total es tres por dos, seis minutos. La varianza es forma por escala al cuadrado: 3 × 2² = 12 minutos cuadrados. La forma cuenta etapas en este ejemplo entero; la escala estira los tiempos. Ninguno de esos parámetros es una probabilidad.
Una familia de tiempos positivos
La gamma tiene un parámetro de forma positivo y otro de escala positivo. El documento escribe la forma como p, pero aquí usamos k para no confundirla con una probabilidad. La escala sigue siendo alfa. La forma modifica la geometría de la distribución; la escala estira el eje temporal.
La función gamma generaliza el factorial: en enteros positivos devuelve el factorial del entero anterior. Permite que la forma no sea entera. Cuando la forma es uno, la familia recupera la exponencial. Para forma entera, se puede interpretar como suma de ese número de esperas exponenciales independientes con la misma escala.
Tres fases de una reacción ficticia
Supón tres esperas exponenciales independientes con escala de dos minutos. Su suma tiene forma tres, escala dos, media seis minutos y varianza doce minutos cuadrados. Si una fase cambia su escala, ya no podemos aplicar sin más esta suma gamma. Las fases deben tener una justificación mecanística, no solo parecer un relato plausible.
Desarrollo escrito del ejemplo
T es el tiempo hasta la llegada número k a un detector Poisson; suma k esperas exponenciales independientes.
Datos y supuestos
- Forma k = 2; escala α = 4 minutos; tasa r = 1/α = 0,25 por minuto.
- Umbral t = 8 minutos; soporte T ≥ 0.
- Proceso de Poisson homogéneo y esperas independientes con la misma tasa.
- Como en la teoría, k es forma y α escala. La biblioteca recibe forma y escala, no tasa.
Calcula E[T].
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula E[T]. Una suma de etapas exponenciales independientes con escala común es gamma. La forma cuenta las etapas enteras en este ejemplo; la escala estira sus tiempos. Una probabilidad requiere integrar la densidad mediante la acumulada, no evaluar su altura. Para este apartado: La media es forma dividida por tasa, o forma por escala.
Sumar las medias de las esperas
Cada espera tiene media 4 minutos; 2 × 4 = 8.
Comprobar e interpretar
El resultado es 8 minutos. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La tasa tiene unidades inversas al tiempo; la escala tiene unidades de tiempo.
La tasa tiene unidades inversas al tiempo; la escala tiene unidades de tiempo.
Una familia de tiempos positivos
La gamma tiene un parámetro de forma positivo y otro de escala positivo. El documento escribe la forma como p, pero aquí usamos k para no confundirla con una probabilidad. La escala sigue siendo alfa. La forma modifica la geometría de la distribución; la escala estira el eje temporal.
La función gamma generaliza el factorial: en enteros positivos devuelve el factorial del entero anterior. Permite que la forma no sea entera. Cuando la forma es uno, la familia recupera la exponencial. Para forma entera, se puede interpretar como suma de ese número de esperas exponenciales independientes con la misma escala.
Fórmulas del apartado
Se lee: Gamma de ka es la integral indicada. Para un entero positivo eme, gamma de eme vale eme menos uno factorial. La variable u solo recorre la integral.
La función gamma normaliza la densidad y prolonga el factorial a formas no enteras.
Hacer la cuenta y entender el resultado
La función Γ, gamma mayúscula, no es la distribución gamma: es una función matemática que ajusta su fórmula. Para enteros positivos, Γ(3) = 2! = 2. Con formas no enteras se evalúa mediante una calculadora o biblioteca. No hace falta inventar un número fraccionario literal de etapas.
Para una probabilidad hasta un tiempo consultamos o integramos la acumulada gamma, no la altura de su densidad. La interpretación como suma requiere independencia y la misma escala. Si las escalas cambian, no podemos sumar formas y afirmar sin más que obtenemos esa misma gamma.
Una familia de tiempos positivos
La gamma tiene un parámetro de forma positivo y otro de escala positivo. El documento escribe la forma como p, pero aquí usamos k para no confundirla con una probabilidad. La escala sigue siendo alfa. La forma modifica la geometría de la distribución; la escala estira el eje temporal.
La función gamma generaliza el factorial: en enteros positivos devuelve el factorial del entero anterior. Permite que la forma no sea entera. Cuando la forma es uno, la familia recupera la exponencial. Para forma entera, se puede interpretar como suma de ese número de esperas exponenciales independientes con la misma escala.
Fórmulas del apartado
Se lee: Densidad gamma: te elevado a ka menos uno por e elevado a menos te entre alfa, dividido entre gamma de ka por alfa elevado a ka. Ka es forma y alfa escala. La media es ka alfa y la varianza ka alfa al cuadrado.
k es forma y alfa escala; ambos son positivos y fuera del soporte la densidad es cero.
Desarrollo escrito del ejemplo
T es el tiempo hasta la llegada número k a un detector Poisson; suma k esperas exponenciales independientes.
Datos y supuestos
- Forma k = 2; escala α = 4 minutos; tasa r = 1/α = 0,25 por minuto.
- Umbral t = 8 minutos; soporte T ≥ 0.
- Proceso de Poisson homogéneo y esperas independientes con la misma tasa.
- Como en la teoría, k es forma y α escala. La biblioteca recibe forma y escala, no tasa.
Calcula P(T ≤ t).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(T ≤ t). Una suma de etapas exponenciales independientes con escala común es gamma. La forma cuenta las etapas enteras en este ejemplo; la escala estira sus tiempos. Una probabilidad requiere integrar la densidad mediante la acumulada, no evaluar su altura. Para este apartado: Acumula el área de la densidad gamma desde cero hasta t; conserva k como forma y α como escala.
Identificar el área
Queremos el tiempo total de 2 esperas menor o igual que 8 minutos. Usamos forma 2 y escala 4, como en la teoría.
Consultar la acumulada
La acumulada gamma integra la densidad desde cero hasta 8 minutos. Con forma 2 y escala 4, una calculadora estadística da aproximadamente 0,5939942. Este valor mide el área acumulada, no la altura de la curva en el umbral.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,5939942 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Es la probabilidad de observar al menos 2 llegadas antes del umbral.
Es la probabilidad de observar al menos 2 llegadas antes del umbral.
Sumar con una condición importante
La suma de gammas independientes con escala común vuelve a ser gamma, sumando sus formas. Si las escalas difieren, la suma no pertenece en general a la misma forma simple. Una media igual no sustituye esta condición; hay que conocer ambos parámetros.
La media es forma por escala y la varianza es forma por escala al cuadrado. Con más etapas independientes, la variabilidad relativa disminuye aunque la varianza absoluta aumente. Interpretar una gamma como etapas literales requiere forma entera y un mecanismo compatible; con forma real es un modelo flexible para cantidades positivas, no necesariamente una secuencia observada de etapas.
Ejemplo resuelto
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