Experimentos, sucesos y conjuntos observables
Apuntes, tema 1 · 1.1, 1.2 y 1.4: experimentos, sucesos y observabilidadAbrir el PDF en la página 1
Objetivos de la lección
- Definir el espacio muestral de un experimento.
- Traducir frases a unión, intersección y complemento.
Apartado 1 de 3
Conservar la identidad de dos semillas
Transcripción
Hola.
Vamos a observar dos semillas, conservando cuál es la primera y cuál la segunda.
Queremos distinguir germina la primera de germina exactamente una.
Antes de calcular nada describiremos qué resultados hacen verdadera cada frase: así evitamos resolver una pregunta distinta de la planteada.
Llamamos omega al espacio de resultados.
Aquí contiene ninguna germina, solo la primera, solo la segunda y ambas.
Son alternativas excluyentes y agotan el experimento; en la lista, primera y segunda abrevia solo esa semilla.
Tener cuatro posibilidades no autoriza a darles un cuarto de probabilidad a cada una.
Llamemos a al suceso germina la primera.
Incluye solo primera y también ambas, porque en los dos resultados germinó esa semilla.
Un resultado describe lo que ocurrió de forma completa; un suceso puede reunir varios resultados que cumplen una condición común.
Exactamente una selecciona solo primera y solo segunda.
La palabra exactamente excluye ambas, aunque ahí también germinó la primera.
Este suceso y a comparten un resultado, pero no son iguales: cambiar la frase cambia qué resultados deberemos reunir al asignar probabilidad.
Si el modelo fija de antemano lo que observamos, hablamos de un resultado determinista; si admite alternativas desconocidas antes de realizarlo, lo tratamos como aleatorio.
Guardar solo el número de germinaciones agrupa los dos resultados de una semilla y pierde su identidad.
Resumir no elimina por sí mismo la incertidumbre.
Palabras y símbolos de esta lección
- Ω, A, B, ∅, 𝒜 · Espacio muestral y sucesos
Se lee: omega; a; be; conjunto vacío; a caligráfica.
Ω reúne los resultados posibles. A y B nombran condiciones o sucesos. ∅ no contiene resultados. 𝒜 reúne las condiciones a las que el modelo puede asignar probabilidad.
Ejemplo: A puede significar marcador verde y B marcador rojo.
- A ∪ B, A ∩ B, Aᶜ, A ∖ B · Operaciones con sucesos
Se lee: a unión be; a intersección be; complemento de a; a menos be.
Unión significa al menos uno, incluido ambos. Intersección significa ambos. Complemento significa no A. A menos B significa A pero no B.
Ejemplo: Una célula con ambos marcadores pertenece a la unión y a la intersección.
- |A| · Número de elementos
Se lee: número de elementos de a.
Las barras alrededor de un conjunto cuentan cuántos resultados contiene. No representan una probabilidad.
Ejemplo: Si hay doce células con marcador, |A| = 12.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- a/b · Fracción
Se lee: a dividido entre b.
El número de arriba es el numerador; el de abajo, el denominador. El denominador no puede ser cero.
Ejemplo: 12/60 = 0,20: doce de sesenta muestras.
¿Qué resultados puede tener nuestro experimento?
Observamos dos semillas identificadas como primera y segunda. Hay cuatro resultados posibles: ninguna germina, solo la primera, solo la segunda o ambas. El espacio muestral es la lista de posibilidades que decidimos distinguir. No hemos dicho que las cuatro tengan la misma probabilidad.
Un suceso es una condición que reúne resultados. Si A significa germina la primera, A incluye solo la primera y ambas. Si B significa germina la segunda, B incluye solo la segunda y ambas. Una letra es una etiqueta para esa frase, no una cantidad que haya que multiplicar.
Definir qué se observa
Un experimento determinista queda fijado por sus condiciones en el modelo; uno aleatorio admite varios resultados antes de realizarse. El espacio muestral reúne esos resultados con el detalle necesario para responder la pregunta. Si observamos dos semillas, conservar su identidad permite distinguir cuál germinó; registrar solo el número de germinaciones descarta esa información.
Un resultado elemental es una posibilidad concreta. Un suceso es un conjunto de resultados que cumplen una condición, como que germine al menos una semilla. La probabilidad se asigna a sucesos observables. En espacios finitos suelen poder observarse todos los subconjuntos; en espacios continuos se especifica una colección compatible con complementos y uniones numerables, llamada sigma-álgebra.
Dos semillas identificadas
Las posibilidades son ninguna germina, solo la primera, solo la segunda o ambas. El suceso germina la primera reúne dos posibilidades. El suceso germina exactamente una reúne otras dos. Estos conjuntos se solapan, pero no son el mismo suceso. Enumerarlos ayuda a comprobar una traducción antes de asignar números.
Hacer la cuenta y entender el resultado
A unión B se lee ocurre A o B, incluidos ambos: germina al menos una. A intersección B pide las dos: germinan ambas. El complemento de A significa no ocurre A: no germina la primera. Solo A excluye los resultados que también cumplen B.
Para ni A ni B elegimos ninguna germina. Podemos describirlo como no pertenece a la unión o como no A y no B. Son dos formas de seleccionar los mismos resultados. Antes de calcular probabilidades, comprobar qué resultados incluye cada frase evita errores de interpretación.
El lenguaje de los conjuntos
La intersección representa que se cumplan dos condiciones; la unión, que se cumpla al menos una, incluyendo la posibilidad de ambas. El complemento representa que no ocurra la condición dentro del espacio elegido. El suceso seguro es todo el espacio y el imposible es el conjunto vacío.
Para traducir solo A, excluye los resultados que también pertenecen a B. Para traducir ni A ni B, toma el complemento de su unión. Las leyes de De Morgan permiten cambiar una negación de conjunto por una combinación de complementos. Este razonamiento sirve para síntomas superpuestos, categorías de muestras y rutas alternativas de un ensayo.
Fórmulas del apartado
Se lee: A menos be equivale a a intersección con el complemento de be: ocurre a pero no be. El complemento de la unión equivale a ninguno de los dos.
Solo A excluye B; ni A ni B exige simultáneamente ambos complementos.
Desarrollo escrito del ejemplo
En un cultivo, A indica fluorescencia verde y B fluorescencia roja. Se elige una célula al azar.
- Ω, A, B, ∅, 𝒜 · Espacio muestral y sucesos
Se lee: omega; a; be; conjunto vacío; a caligráfica.
Ω reúne los resultados posibles. A y B nombran condiciones o sucesos. ∅ no contiene resultados. 𝒜 reúne las condiciones a las que el modelo puede asignar probabilidad.
Ejemplo: A puede significar marcador verde y B marcador rojo.
- A ∪ B, A ∩ B, Aᶜ, A ∖ B · Operaciones con sucesos
Se lee: a unión be; a intersección be; complemento de a; a menos be.
Unión significa al menos uno, incluido ambos. Intersección significa ambos. Complemento significa no A. A menos B significa A pero no B.
Ejemplo: Una célula con ambos marcadores pertenece a la unión y a la intersección.
- |A| · Número de elementos
Se lee: número de elementos de a.
Las barras alrededor de un conjunto cuentan cuántos resultados contiene. No representan una probabilidad.
Ejemplo: Si hay doce células con marcador, |A| = 12.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- a/b · Fracción
Se lee: a dividido entre b.
El número de arriba es el numerador; el de abajo, el denominador. El denominador no puede ser cero.
Ejemplo: 12/60 = 0,20: doce de sesenta muestras.
Datos y supuestos
- 160 células en total.
- 96 presentan A, 48 presentan B y 32 presentan ambos marcadores.
- Cada célula tiene la misma probabilidad de ser elegida.
- Los grupos A y B pueden solaparse; no se supone independencia.
¿Cuál es P(A ∪ B), la probabilidad de presentar al menos un marcador?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿Cuál es P(A ∪ B), la probabilidad de presentar al menos un marcador? El experimento elige una célula equiprobablemente. Por eso podemos convertir recuentos en probabilidades dividiendo entre el total; antes hay que corregir los solapamientos para contar cada célula una sola vez. Para este apartado: Las células con ambos marcadores se han contado dos veces.
Contar sin duplicar
Sumamos los dos grupos y restamos el solapamiento: 96 + 48 - 32 = 112.
Convertir en probabilidad
Dividimos por todas las células: 112/160 = 0,7.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,7 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Incluye las células con uno o con los dos marcadores.
Incluye las células con uno o con los dos marcadores.
¿Cuál es la probabilidad de no presentar ninguno de los dos marcadores?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿Cuál es la probabilidad de no presentar ninguno de los dos marcadores? El experimento elige una célula equiprobablemente. Por eso podemos convertir recuentos en probabilidades dividiendo entre el total; antes hay que corregir los solapamientos para contar cada célula una sola vez. Para este apartado: El complemento de al menos uno es ninguno.
Tomar el complemento
Los grupos con algún marcador y sin marcadores cubren todo el cultivo: 1 - 0,7 = 0,3.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,3 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. No tener ninguno no es lo mismo que no tener ambos simultáneamente.
No tener ninguno no es lo mismo que no tener ambos simultáneamente.
Qué exige la observabilidad
La colección de sucesos observables contiene el espacio completo y está cerrada bajo complementos y uniones numerables. Si A es observable, también lo es no A; si cada suceso de una lista es observable, también lo es su unión. Las intersecciones se obtienen mediante complementos y De Morgan. Estas reglas permiten que las operaciones del cálculo vuelvan a producir preguntas a las que se pueda asignar probabilidad.
Fórmulas del apartado
Se lee: Omega, a caligráfica y pe: resultados posibles, colección de sucesos a los que asignamos probabilidad y regla de probabilidad. Esta es la notación formal del mismo experimento.
El espacio de probabilidad reúne resultados posibles, sucesos observables y una regla que les asigna probabilidades.