Vectores y tablas de probabilidad conjunta

Apuntes, tema 4 · 4.1 y 4.2: vectores, acumulada bivariante y masa conjunta; ejercicios U3 1 y 2Abrir el PDF en la página 1

Lección

Objetivos de la lección

• Interpretar cada celda de una masa conjunta.
• Calcular regiones y acumuladas bivariantes.

Apartado 1 de 3

Dos medidas pertenecen al mismo resultado

Transcripción

Hola.

Medimos dos marcadores en cada célula y codificamos cada uno como cero o uno.

Si conservamos solo sus frecuencias por separado perdemos qué marcadores aparecieron juntos.

El vector equis, i griega mantiene las dos medidas de una misma célula y necesita probabilidades para las parejas.

En la tabla equis identifica filas e i griega columnas.

La primera fila asigna treinta y cinco y quince centésimas a sus dos parejas; la segunda, veinticinco y veinticinco.

Cada entrada se refiere a toda la población del modelo, no a una distribución que ya hayamos normalizado dentro de su fila.

Pe sub equis, i griega es la masa conjunta.

En uno, cero vale un cuarto: probabilidad de que en la misma célula equis sea uno e i griega cero.

La coma significa que exigimos las dos condiciones simultáneamente; no estamos calculando i griega cero dado equis uno.

Las cuatro parejas son incompatibles y cubren todas las posibilidades, así que sus masas deben ser no negativas y sumar uno.

Aquí lo hacen.

Si transponemos la tabla para cambiar su orientación, debemos intercambiar también qué eje nombra a cada variable: una entrada solo se interpreta junto con sus etiquetas.

Las distribuciones de cada marcador por separado serán las marginales.

Pueden coincidir en dos poblaciones aunque las parejas se distribuyan de manera diferente: tener los mismos totales por fila y columna no fija todas las celdas.

La conjunta conserva la información de coordinación que esos resúmenes separados pierden.

Palabras y símbolos de esta lección

X, x, xᵢ · Variable y valor

Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.

X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.

Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.

p_{X,Y}(x,y), f_{X,Y}(x,y) · Distribución conjunta

Se lee: masa conjunta de equis e i griega; densidad conjunta de equis e i griega.

Describe dos medidas del mismo resultado. Una coma entre condiciones de P significa que se cumplen ambas, no una alternativa.

Ejemplo: P(X = 1, Y = 0) pide X igual a uno e Y igual a cero.

p_X(x) · Masa de probabilidad

Se lee: pe sub equis de x.

Es la probabilidad de un valor exacto de una variable discreta, que toma valores separados.

Ejemplo: Si P(X = 2) = 0,3, la masa en dos brotes es 0,3.

∑ᵢ aᵢ · Sumatorio

Se lee: suma de a sub i.

La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.

Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.

F_X(x) · Probabilidad acumulada

Se lee: efe mayúscula sub equis de x.

Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.

Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.

<, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos

Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.

Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.

Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.

¿Cómo leemos dos marcadores de la misma célula?

X puede indicar marcador verde e Y marcador rojo: cero para ausencia y uno para presencia. Cada célula aporta un par, como (1,0). Una tabla conjunta asigna una probabilidad a cada par. Las filas nombran X y las columnas Y; las etiquetas forman parte de los datos.

Supón probabilidades 0,35 para (0,0), 0,15 para (0,1), 0,25 para (1,0) y 0,25 para (1,1). Suman uno. La celda (1,0) describe verde presente y rojo ausente a la vez. No significa uno dado el otro ni la alternativa entre ambos.

Dos números del mismo resultado

Un vector aleatorio asigna varias medidas al mismo resultado. Dos marcadores de una célula o dos recuentos de un campo pueden variar coordinadamente. La distribución conjunta describe las combinaciones, no solo cada componente por separado. Dos distribuciones marginales iguales pueden acompañarse de relaciones conjuntas muy diferentes.

En el caso discreto, cada celda de una tabla es la probabilidad de una pareja concreta. Las celdas son no negativas y todas juntas suman uno. La ubicación de filas y columnas debe estar etiquetada: una tabla transpuesta puede describir lo mismo si se intercambian las etiquetas, pero no si se mantienen.

Fórmulas del apartado

Se lee: Pe conjunta de equis e i griega en x e y: probabilidad de que ocurran esos dos valores simultáneamente. La suma de todas las celdas es uno.

$$p_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y),\qquad \sum_x\sum_y p_{X,Y}(x,y)=1$$

Cada masa corresponde a una combinación de valores, no a una probabilidad condicionada.

Dos respuestas celulares ficticias

Para dos indicadores X e Y, asigna masas 0,35 a ambos cero, 0,15 a X cero e Y uno, 0,25 a X uno e Y cero y 0,25 a ambos uno. Suman uno. La acumulada en cero y uno vale 0,50, mientras que la probabilidad de ambos uno vale 0,25. La tabla conserva esa distinción.

Desarrollo escrito del ejemplo

Se observan dos marcadores en la misma célula. X indica marcador verde e Y marcador rojo: uno significa presencia y cero ausencia.

X, x, xᵢ · Variable y valor

Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.

X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.

Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.

p_{X,Y}(x,y), f_{X,Y}(x,y) · Distribución conjunta

Se lee: masa conjunta de equis e i griega; densidad conjunta de equis e i griega.

Describe dos medidas del mismo resultado. Una coma entre condiciones de P significa que se cumplen ambas, no una alternativa.

Ejemplo: P(X = 1, Y = 0) pide X igual a uno e Y igual a cero.

p_X(x) · Masa de probabilidad

Se lee: pe sub equis de x.

Es la probabilidad de un valor exacto de una variable discreta, que toma valores separados.

Ejemplo: Si P(X = 2) = 0,3, la masa en dos brotes es 0,3.

F_X(x) · Probabilidad acumulada

Se lee: efe mayúscula sub equis de x.

Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.

Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.

<, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos

Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.

Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.

Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.

Datos y supuestos

• Filas X = 0, 1; columnas Y = 0, 1. Tabla: [0,2; 0,3] y [0,3; 0,2].
• Cada entrada es una probabilidad de dos valores simultáneos; las cuatro entradas suman uno.
• Las filas y las columnas tienen etiquetas distintas.
• No se supone independencia entre los marcadores.

¿Cuál es P(X = 1, Y = 0), verde presente y rojo ausente?

Identificar la pregunta y justificar el método

¿Cuál es P(X = 1, Y = 0), verde presente y rojo ausente? Cada celda describe dos valores simultáneos. Antes de sumar, identificamos la fila de X, la columna de Y y las celdas que cumplen la condición. La coma dentro de P significa y, no o. Para este apartado: Busca la fila X = 1 y la columna Y = 0.

Localizar la celda

La segunda fila es X = 1 y la primera columna es Y = 0: su entrada es 0,3.

Leer la condición simultánea

La coma pide que se cumplan ambas condiciones en la misma célula. No sumamos una fila ni cambiamos el denominador.

Comprobar e interpretar

El resultado es 0,3 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Una celda conjunta no es una probabilidad condicionada.

Una celda conjunta no es una probabilidad condicionada.

Ejemplo resuelto

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Ejercicios