Cauchy y Weibull: colas y riesgo cambiante
Apuntes, tema 3 · 3.2.6 y 3.2.7: Cauchy y Weibull; riesgo instantáneo como ampliación explícitaAbrir el PDF en la página 17
Objetivos de la lección
- Explicar por qué simetría no garantiza esperanza.
- Interpretar la forma Weibull como una hipótesis sobre el riesgo.
Apartado 1 de 4
Una simetría que no permite promediar las colas
Transcripción
Hola.
Una curva simétrica alrededor de cero invita a decir que su media es cero.
Antes debemos preguntar si esa media existe.
La Cauchy estándar será nuestro contraejemplo: tiene centro y probabilidades bien definidos, pero sus colas impiden definir la esperanza.
Su densidad es uno dividido entre pi por uno más equis al cuadrado, para cualquier equis real.
El cuadrado hace simétricas las alturas y el factor pi normaliza el área total a uno.
Pi es la constante circular.
Tener una densidad integrable no garantiza que también lo sea el tiempo o la señal ponderados por ella.
El gráfico muestra solo de menos ocho a ocho: las colas continúan.
Caen aproximadamente como el inverso de equis al cuadrado, mucho más despacio que las normales.
Si recortamos la mirada a la zona central podemos perder justo lo que decide si existen los momentos.
Cero es mediana porque deja la mitad de la probabilidad a cada lado y es moda porque allí la densidad es máxima.
Para la esperanza, en cambio, multiplicamos cada valor por su densidad.
La contribución del lado positivo diverge y la del negativo también en valor absoluto: no hay dos cantidades finitas que puedan cancelarse.
Integrar entre límites simétricos puede dar cero, pero calcula un valor principal, no la esperanza probabilística.
En Cauchy la esperanza no existe, la varianza no está definida y los momentos enteros positivos no son finitos.
La simetría permite localizar el centro; no resuelve la falta de integrabilidad.
Una muestra finita sí tiene una media aritmética calculable y aun así puede proceder de esta población sin esperanza.
No debemos confundir ambos conceptos.
Cocientes con denominadores próximos a cero motivan revisar colas extremas, pero no prueban automáticamente un modelo Cauchy: esa elección necesita evidencia sobre el mecanismo o los datos.
Palabras y símbolos de esta lección
- x₀, γ · Localización y escala de Cauchy
Se lee: equis sub cero; gamma minúscula.
x₀ fija el centro y la mediana; γ es una escala positiva en las mismas unidades. La gamma minúscula de esta fórmula no es la función Γ ni la distribución gamma. El centro no es una esperanza en este modelo.
Ejemplo: Cauchy con x₀ = 4 y γ = 2 tiene mediana 4; su esperanza no está definida.
- tan(x), arctan(x), π · Tangente, inversa y pi
Se lee: tangente de x; arco tangente de x; pi.
La tangente relaciona un ángulo con una razón; arctan deshace esa relación. Aquí los ángulos se expresan en radianes y π vale aproximadamente 3,14159.
Ejemplo: arctan(1) = π/4. En Bayes, π puede nombrar prevalencia; el contexto lo distingue.
- k, β · Forma de una distribución
Se lee: ka; beta.
k es la forma gamma y β la forma Weibull. Son números positivos sin unidades, no probabilidades. La forma modifica el reparto de los tiempos.
Ejemplo: Gamma con k = 3 puede sumar tres esperas; Weibull con β = 1 es exponencial.
- α · Escala temporal
Se lee: alfa.
En las lecciones de tiempos, una escala positiva estira o encoge la duración. En la exponencial coincide con el tiempo medio; su inversa es la tasa.
Ejemplo: Escala 5 minutos: tasa exponencial 1/5 = 0,2 por minuto.
- S(t) · Supervivencia
Se lee: ese de te.
Es la probabilidad de que el tiempo del evento sea mayor que t. No requiere que el evento sea una muerte.
Ejemplo: S(10) = 0,2: el 20 % aún no presenta el evento a los diez minutos.
- Γ(k) · Función gamma
Se lee: gamma de ka.
Es una función distinta de la distribución gamma. Para enteros positivos, Γ(k) vale (k−1) factorial; con otros valores positivos se evalúa con una calculadora o biblioteca.
Ejemplo: Γ(3) = 2! = 2.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
¿Un centro simétrico garantiza que exista una media?
No siempre. La Cauchy estándar tiene centro, mediana y moda cero, pero sus colas son tan importantes que la media del modelo no está definida. La mediana deja la mitad a cada lado; la moda señala la mayor densidad. Ninguna de esas definiciones exige que exista esperanza.
Podemos promediar cualquier muestra finita de Cauchy, pero ese cálculo no crea una media poblacional. Tampoco restamos dos contribuciones infinitas y las llamamos cero. Para intervalos usamos su acumulada, que incorpora la función arco tangente, explicada en la notación de esta lección.
Cauchy: un centro sin media
La Cauchy estándar es simétrica alrededor de cero y tiene mediana y moda cero, pero no esperanza. Sus colas aportan integrales divergentes a ambos lados. No podemos cancelar una parte positiva infinita con una negativa infinita y llamarlo media. El valor principal simétrico es una operación diferente de la esperanza.
Su acumulada es un medio más arco tangente de x dividida entre pi. Sale de integrar la densidad: la primitiva es arco tangente de x entre pi y su límite en menos infinito es menos un medio. Para un intervalo resta las acumuladas de sus extremos. Entre menos uno y uno, las arco tangentes son menos pi cuartos y pi cuartos, por lo que la probabilidad es un medio. Poder calcular estas probabilidades no implica que exista la esperanza.
Sus momentos enteros positivos no son finitos y su varianza no está definida. Una muestra finita siempre permite calcular un promedio numérico, pero eso no crea una esperanza poblacional. Como contexto adicional, cocientes de señales con denominadores próximos a cero pueden producir colas extremas; la Cauchy ilustra el riesgo, sin afirmar que cualquier cociente biológico siga ese modelo.
Fórmulas del apartado
Se lee: La densidad de la Cauchy estándar es uno entre pi por uno más x al cuadrado. Equis puede ser cualquier real. La esperanza de ce no existe.
La simetría de la Cauchy estándar no elimina la divergencia de sus colas.
Hacer la cuenta y entender el resultado
La Weibull sirve para tiempos positivos. Alfa es escala temporal y beta forma. Con beta igual a uno recupera la exponencial; con beta mayor que uno el riesgo instantáneo crece, y con beta menor que uno decrece. Riesgo es ritmo del evento entre quienes todavía no lo presentaron, no una probabilidad sin unidades.
Con escala diez horas y forma dos, superar diez horas tiene probabilidad exp(−(10/10)²) = exp(−1) ≈ 0,3679. Esa es una probabilidad de intervalo. La forma puede sugerir hipótesis sobre envejecimiento o heterogeneidad, pero no demuestra por sí sola una causa biológica.
Cauchy: un centro sin media
La Cauchy estándar es simétrica alrededor de cero y tiene mediana y moda cero, pero no esperanza. Sus colas aportan integrales divergentes a ambos lados. No podemos cancelar una parte positiva infinita con una negativa infinita y llamarlo media. El valor principal simétrico es una operación diferente de la esperanza.
Su acumulada es un medio más arco tangente de x dividida entre pi. Sale de integrar la densidad: la primitiva es arco tangente de x entre pi y su límite en menos infinito es menos un medio. Para un intervalo resta las acumuladas de sus extremos. Entre menos uno y uno, las arco tangentes son menos pi cuartos y pi cuartos, por lo que la probabilidad es un medio. Poder calcular estas probabilidades no implica que exista la esperanza.
Sus momentos enteros positivos no son finitos y su varianza no está definida. Una muestra finita siempre permite calcular un promedio numérico, pero eso no crea una esperanza poblacional. Como contexto adicional, cocientes de señales con denominadores próximos a cero pueden producir colas extremas; la Cauchy ilustra el riesgo, sin afirmar que cualquier cociente biológico siga ese modelo.
Desarrollo escrito del ejemplo
La desviación de una señal de biosensor respecto a una referencia se modeliza, de forma ficticia, con una Cauchy de colas pesadas.
- x₀, γ · Localización y escala de Cauchy
Se lee: equis sub cero; gamma minúscula.
x₀ fija el centro y la mediana; γ es una escala positiva en las mismas unidades. La gamma minúscula de esta fórmula no es la función Γ ni la distribución gamma. El centro no es una esperanza en este modelo.
Ejemplo: Cauchy con x₀ = 4 y γ = 2 tiene mediana 4; su esperanza no está definida.
- tan(x), arctan(x), π · Tangente, inversa y pi
Se lee: tangente de x; arco tangente de x; pi.
La tangente relaciona un ángulo con una razón; arctan deshace esa relación. Aquí los ángulos se expresan en radianes y π vale aproximadamente 3,14159.
Ejemplo: arctan(1) = π/4. En Bayes, π puede nombrar prevalencia; el contexto lo distingue.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
- Q(u), q_u, F⁻¹(u) · Cuantil y percentil
Se lee: cuantil de u; cu sub u; inversa de la acumulada en u.
Busca un umbral que deja al menos la proporción u por debajo o en él. En una distribución con saltos puede superarla. No significa uno dividido entre F.
Ejemplo: El percentil 90 corresponde a u = 0,90.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
Datos y supuestos
- Localización x₀=-2 y escala γ=1, en unidades de señal; soporte toda la recta real.
- Intervalo [-3,-1]. La localización es mediana, no media: E[X] no existe y la varianza no está definida.
- Se supone este modelo para una señal con signo, no para un recuento ni para toda señal biológica.
- La simetría no permite cancelar integrales divergentes para definir una esperanza finita.
Calcula la probabilidad de que X caiga en el intervalo indicado.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula la probabilidad de que X caiga en el intervalo indicado. La acumulada de Cauchy se expresa mediante arctangentes y permite calcular intervalos y mediana. Sus colas impiden definir esperanza y varianza: la simetría no autoriza cancelar dos integrales divergentes. Para este apartado: Resta las CDF de los extremos; no uses una media ni una desviación típica inexistentes.
Cambiar a la escala estándar
(l-x₀)/γ=-1 y (u-x₀)/γ=1.
Escribir la acumulada
F(x)=1/2+arctan((x-x₀)/γ)/π.
Restar las áreas
Al restar las acumuladas se cancelan las dos mitades. Queda la diferencia entre arco tangente de 1 y arco tangente de menos uno, dividida entre pi: aproximadamente 0,5. Es el área entre los límites estandarizados.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,5 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Los extremos individuales tienen probabilidad cero; las colas no impiden calcular probabilidades de intervalos.
Los extremos individuales tienen probabilidad cero; las colas no impiden calcular probabilidades de intervalos.
Calcula la mediana de X, el cuantil 0,5.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula la mediana de X, el cuantil 0,5. La acumulada de Cauchy se expresa mediante arctangentes y permite calcular intervalos y mediana. Sus colas impiden definir esperanza y varianza: la simetría no autoriza cancelar dos integrales divergentes. Para este apartado: Impón F(m)=1/2, no E[X]=x₀.
Resolver la acumulada central
F(m)=1/2 implica arctan((m-x₀)/γ)=0, luego m=x₀.
Sustituir el cuantil
Para la probabilidad una mitad, el argumento de la tangente es cero y su valor también. La corrección de escala desaparece: la mediana coincide con la localización, -2, aunque no exista una esperanza.
Comprobar e interpretar
El resultado es -2 unidades de señal. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La mediana existe aunque la esperanza no exista; una media muestral finita no crea una media poblacional.
La mediana existe aunque la esperanza no exista; una media muestral finita no crea una media poblacional.
Weibull: no todos los sistemas carecen de memoria
La Weibull describe tiempos positivos con escala alfa y forma beta. Su supervivencia depende de una potencia del tiempo relativo a la escala. Con forma uno coincide con la exponencial. Su riesgo instantáneo disminuye para forma menor que uno y aumenta para forma mayor que uno.
La interpretación del riesgo es una ampliación de la fórmula suministrada: se obtiene dividiendo densidad por supervivencia. Un riesgo creciente puede representar envejecimiento del mecanismo; uno decreciente puede reflejar selección de unidades más resistentes. Son interpretaciones posibles, no pruebas causales. Las medias y varianzas se calculan mediante la función gamma.
Fórmulas del apartado
Se lee: Supervivencia Weibull: e elevado a menos la razón te entre alfa elevada a beta. La densidad añade el factor beta entre alfa y una potencia. Alfa es escala y beta forma.
Alfa es escala y beta forma, ambas positivas; la forma uno recupera la exponencial.
Vida útil ficticia de un sensor biológico
Una Weibull con escala diez horas y forma dos tiene probabilidad de superar diez horas igual a la exponencial de menos uno, aproximadamente 0,3679. Su riesgo aumenta con el tiempo. Una Cauchy centrada en cero, en cambio, permite localizar el centro por mediana, pero no permite afirmar que su media teórica sea cero.
Weibull: no todos los sistemas carecen de memoria
La Weibull describe tiempos positivos con escala alfa y forma beta. Su supervivencia depende de una potencia del tiempo relativo a la escala. Con forma uno coincide con la exponencial. Su riesgo instantáneo disminuye para forma menor que uno y aumenta para forma mayor que uno.
La interpretación del riesgo es una ampliación de la fórmula suministrada: se obtiene dividiendo densidad por supervivencia. Un riesgo creciente puede representar envejecimiento del mecanismo; uno decreciente puede reflejar selección de unidades más resistentes. Son interpretaciones posibles, no pruebas causales. Las medias y varianzas se calculan mediante la función gamma.
Fórmulas del apartado
Se lee: La media y varianza Weibull se calculan con gamma mayúscula. Primero introducimos la forma beta en esas funciones y después aplicamos la escala alfa; no son las fórmulas de la Cauchy.
La Weibull tiene momentos finitos; la función gamma conecta forma, escala y resúmenes.