De resultados a variables y acumuladas
Apuntes, tema 2 · 2.1 a 2.5 y 2.14: variable, acumulada, clasificación y definición formalAbrir el PDF en la página 1
Objetivos de la lección
- Distinguir una variable de una realización.
- Leer la función de distribución y su definición formal.
Apartado 1 de 3
Del resultado a una medida
Transcripción
Hola.
Queremos describir un campo contando sus larvas, en lugar de guardar todos sus detalles.
Antes de mirar fijamos la regla contar; lo que desconocemos es el número que producirá.
Vamos a distinguir esa regla de su resultado.
Equis mayúscula es la función que lleva cada resultado omega del experimento a un número real.
Equis minúscula puede nombrar el valor observado o un umbral de comparación.
El recorrido reúne los valores que la regla puede producir, no todos los reales necesariamente.
Dos campos distintos pueden contener dos larvas: sus resultados originales son diferentes, pero la regla les asigna el mismo número.
Al pasar al recuento agrupamos esos resultados y reunimos sus probabilidades; no suponemos que todos los recuentos tengan el mismo peso.
Para calcular la probabilidad de no superar un umbral, reunimos los resultados omega cuyo recuento no lo supera.
Esa colección debe pertenecer a a caligráfica, nuestros sucesos observables: esta es la condición de medibilidad que permite transportar la probabilidad a los números.
La condición se pide para cualquier umbral real, no solo para los recuentos posibles.
Por ejemplo, no superar uno coma cinco selecciona los recuentos cero y uno.
Medible significa que la pregunta admite probabilidad en el modelo, no que sepamos anticipar su respuesta.
La acumulada conserva lo que ya se ha sumado
X puede valer 0, 1, 2 o 3, con probabilidades 1/8, 3/8, 3/8 y 1/8. ¿Qué representa la altura del escalón entre 1 y 2?
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Hasta 1 se acumula 1/8 + 3/8 = 1/2. Entre 1 y 2 no aparecen nuevos resultados posibles: F(1,5) sigue siendo 1/2. En 2 se añade su masa y la acumulada sube a 7/8. La altura de un escalón es una probabilidad acumulada; el salto, no esa altura, representa la masa del punto.
Palabras y símbolos de esta lección
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
- Soporte, ℝ, ℕ, ∞ · Valores permitidos
Se lee: soporte; números reales; números naturales; infinito.
El soporte delimita dónde puede estar la variable. ℝ incluye números negativos, positivos y decimales. Aquí siempre se indica si los enteros empiezan en cero o en uno. Infinito no es un número que se sustituya.
Ejemplo: Un recuento puede valer 0, 1, 2…; un tiempo no puede ser negativo.
- Ω, A, B, ∅, 𝒜 · Espacio muestral y sucesos
Se lee: omega; a; be; conjunto vacío; a caligráfica.
Ω reúne los resultados posibles. A y B nombran condiciones o sucesos. ∅ no contiene resultados. 𝒜 reúne las condiciones a las que el modelo puede asignar probabilidad.
Ejemplo: A puede significar marcador verde y B marcador rojo.
¿Cómo pasamos de una observación a un número?
Una variable aleatoria es una regla para convertir un resultado en un número. X puede ser el número de larvas en un campo. Antes de mirar no sabemos qué número saldrá; después observamos un valor x, por ejemplo dos. La mayúscula nombra la regla y la minúscula un valor o umbral.
Supón valores cero, uno y dos con probabilidades 0,2, 0,5 y 0,3. La acumulada F(1) pregunta por como máximo una larva: incluye cero y uno. Sumamos 0,2 + 0,5 = 0,7. No pregunta por exactamente una; esa probabilidad sería 0,5.
Una regla antes de observar, un valor después
Una variable aleatoria es una regla que asigna un número a cada resultado del experimento. La variable se escribe normalmente en mayúscula; una realización, en minúscula. Contar semillas germinadas o medir una longitud son reglas diferentes sobre un experimento y pueden perder detalles distintos del resultado original.
La definición formal exige que los resultados que producen valores inferiores o iguales a cualquier umbral formen un suceso observable. Esta condición de medibilidad conecta la variable con la probabilidad del espacio original. No exige que conozcamos de antemano el número que saldrá ni que todos los resultados sean equiprobables.
En el caso de dados del Tema 2, 2.15.1 a 2.15.3 (páginas físicas 16 a 18), distinguimos el primer dado del segundo: Ω = {(a,b): a,b = 1,...,6}. Con dados regulares e independientes hay 6 por 6 = 36 pares, cada uno con probabilidad 1/36. Los pares (1,2) y (2,1) son distintos aunque tengan la misma suma. Los dobles son (1,1) hasta (6,6): seis casos y probabilidad 6/36 = 1/6. Para sumar diez solo sirven (4,6), (5,5) y (6,4): 3/36 = 1/12.
Sobre ese mismo espacio, X = a+b tiene recorrido {2,...,12}, mientras M = min(a,b) tiene recorrido {1,...,6}. La pareja (2,5) produce X=7 y M=2. Agrupar por X o por M no cambia el experimento, sino la información que conservamos. Los once valores de X no son equiprobables solo porque los 36 pares sí lo sean. Una única tirada tampoco puede dar un recorrido infinito: para ello hay que repetir el experimento y registrar, por ejemplo, la espera hasta el primer doble seis.
Fórmulas del apartado
Se lee: Equis lleva cada resultado omega a un número real. La condición formal exige que preguntar si equis no supera un umbral sea un suceso al que podamos asignar probabilidad.
Una variable debe permitir observar los sucesos que define cada umbral.
Hacer la cuenta y entender el resultado
F(1,5) también vale 0,7: no hay una nueva fila entre uno y dos. Un umbral no necesita ser un valor que la variable pueda tomar. Al pasar por dos, la acumulada llega a uno. Antes de cero vale cero; no puede bajar porque solo añade posibilidades.
Para un intervalo mayor que a y menor o igual que b, calculamos F(b) − F(a). Quitamos lo acumulado hasta a de lo acumulado hasta b. Si la variable tiene masas en puntos, importa qué extremos incluimos. La definición formal de variable y los límites laterales se desarrollan en las definiciones que siguen.
Número de larvas observadas
Un campo tiene 0, 1 o 2 larvas con masas 0,2, 0,5 y 0,3. La acumulada vale cero para umbrales negativos, 0,2 desde cero hasta antes de uno, 0,7 desde uno hasta antes de dos y uno desde dos. En un umbral de 1,5 sigue valiendo 0,7 aunque ese valor no sea una realización posible.
Desarrollo escrito del ejemplo
X cuenta brotes de una planta y solo puede valer 0, 2 o 5. Una tabla describe sus probabilidades.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
- p_X(x) · Masa de probabilidad
Se lee: pe sub equis de x.
Es la probabilidad de un valor exacto de una variable discreta, que toma valores separados.
Ejemplo: Si P(X = 2) = 0,3, la masa en dos brotes es 0,3.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
Datos y supuestos
- P(X = 0) = 0,1; P(X = 2) = 0,4; P(X = 5) = 0,5.
- F(t) significa probabilidad de que X sea menor o igual que el umbral t.
- Las tres probabilidades son no negativas y suman uno.
- Un umbral puede estar entre dos valores posibles sin ser una observación posible.
¿Cuánto vale F(3), la probabilidad de como máximo tres brotes?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿Cuánto vale F(3), la probabilidad de como máximo tres brotes? La tabla da la probabilidad de cada valor exacto. La acumulada F(t) pregunta por todos los valores menores o iguales que t. Elegimos esas filas y sumamos sus probabilidades, sin sumar las etiquetas de las filas. Para este apartado: Incluye las filas de cero y dos; excluye la de cinco.
Elegir las filas
Cero y dos son menores o iguales que tres. Cinco no lo es.
Sumar sus probabilidades
0,1 + 0,4 = 0,5. No añadimos una fila para tres: no es un resultado posible en este modelo.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,5 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. F(3) está definida aunque nunca se observen exactamente tres brotes.
F(3) está definida aunque nunca se observen exactamente tres brotes.
¿Qué probabilidad hay de menos de dos brotes, sin incluir dos?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿Qué probabilidad hay de menos de dos brotes, sin incluir dos? La tabla da la probabilidad de cada valor exacto. La acumulada F(t) pregunta por todos los valores menores o iguales que t. Elegimos esas filas y sumamos sus probabilidades, sin sumar las etiquetas de las filas. Para este apartado: La condición estricta X < 2 solo admite cero en esta tabla.
Leer el extremo
Menos de dos no incluye dos. El único valor permitido inferior a dos es cero.
Tomar la masa correspondiente
P(X < 2) = P(X = 0) = 0,1.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,1 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Incluir dos daría otra pregunta y otra probabilidad.
Incluir dos daría otra pregunta y otra probabilidad.
La acumulada como lenguaje común
La función de distribución acumula la probabilidad hasta un umbral, incluyéndolo. Existe para cualquier variable real, discreta o no. Toma valores entre cero y uno, no decrece, es continua por la derecha y se aproxima a cero y uno en los extremos de la recta. Sus saltos representan masas en puntos concretos.
Para un intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, se resta la acumulada del extremo inferior a la del superior. Una variable discreta puede dar acumuladas con escalones; una absolutamente continua tiene acumulada obtenida integrando una densidad. Continuidad de la acumulada y existencia de densidad no son conceptos idénticos: hay distribuciones continuas singulares que este curso no desarrolla.
Una variable mixta puede combinar masa puntual y una parte con densidad. Por ejemplo, un tiempo vale cero con probabilidad 0,3 y, con probabilidad 0,7, sigue una exponencial de escala un minuto. Su acumulada vale cero para tiempos negativos. Para t no negativo, medido en minutos, calcula primero uno menos exp de menos t, multiplica ese resultado por 0,7 y suma 0,3. El salto en cero aporta 0,3; integrar la parte continua aporta los otros 0,7. No basta una densidad ordinaria para representar toda esta distribución.
Para X, suma de los dos dados, acumulamos los números de pares favorables. Esta tabla define FX en toda la recta, no solo en los enteros (Tema 2, 2.15.3, 2.15.4 y 2.15.7, páginas 18 a 21):
| Umbral t | FX(t) |
|---|---|
| t < 2 | 0 |
| 2 ≤ t < 3 | 1/36 |
| 3 ≤ t < 4 | 3/36 |
| 4 ≤ t < 5 | 6/36 |
| 5 ≤ t < 6 | 10/36 |
| 6 ≤ t < 7 | 15/36 |
| 7 ≤ t < 8 | 21/36 |
| 8 ≤ t < 9 | 26/36 |
| 9 ≤ t < 10 | 30/36 |
| 10 ≤ t < 11 | 33/36 |
| 11 ≤ t < 12 | 35/36 |
| t ≥ 12 | 1 |
Así, P(X≤1)=0, P(X≤2)=1/36 y P(X≤3,5)=3/36. Los umbrales propuestos en el PDF dan P(X≤6)=15/36, P(X≤8,2)=26/36 y P(X≤12)=P(X≤20)=1. Para P(2,2<X≤7) quitamos lo acumulado hasta 2,2: (21−1)/36 = 20/36. En cambio, P(X<6) excluye la masa de seis y vale (15−5)/36 = 10/36; P(2<X<7) excluye también siete y vale (21−6−1)/36 = 14/36. Cada salto de F tiene el tamaño de la masa del entero que entra; entre enteros el escalón es horizontal.
El ejercicio del mínimo M se resuelve contando el complemento. Para k entero de 1 a 6, M≥k exige que ambos dados estén entre k y seis: hay (7−k)2 pares. Por tanto, FM(t) = 1 − (6−k)2/36 si k≤t<k+1, con k=1,...,5. Los escalones valen 11/36, 20/36, 27/36, 32/36 y 35/36; antes de uno FM=0 y desde seis FM=1. Esto completa la acumulada solicitada para el mínimo, sin confundirla con la de la suma.
Fórmulas del apartado
Se lee: Efe sub equis de x es probabilidad de equis menor o igual que x. Entre a excluido y be incluido restamos efe de a de efe de be. Un salto de la acumulada da la probabilidad de ese punto; x menos indica acercarse desde la izquierda.
La acumulada describe intervalos y sus saltos describen masas puntuales; F(x menos) es el límite por la izquierda.