Poisson: recuentos por exposición y eventos raros
Apuntes, tema 3 · 3.1.3: Poisson; asociación con ejercicios 2.5 y 2.6 y su aproximación binomialAbrir el PDF en la página 6
Objetivos de la lección
- Distinguir una tasa de un recuento esperado.
- Evaluar cuándo una aproximación de Poisson es defendible.
Apartado 1 de 3
La media pertenece a una ventana
Transcripción
Hola, un sensor registra por término medio una coma cinco apariciones por hora y lo observaremos dos horas: tasa y duración definen nuestra exposición.
Queremos modelar equis, el número de apariciones en esa ventana: admite cero, uno, dos y cualquier entero no negativo.
La tasa por hora y la media de dos horas no son la misma cantidad.
Llamamos lambda a la media de la ventana completa.
Cada hora aporta la misma exposición, así que multiplicamos una coma cinco apariciones por hora por dos horas.
Las horas se cancelan y queda un número esperado de apariciones, que es el parámetro de la Poisson.
Lambda vale tres.
Es un centro del reparto de recuentos, no la obligación de observar tres ni una probabilidad de tres.
Puede superar uno y no pone un máximo al soporte: ventanas comparables pueden tener ninguna aparición o más de tres.
Una justificación del modelo es el proceso Poisson homogéneo: la tasa se mantiene y los recuentos de ventanas disjuntas son independientes.
Además, al hacer muy pequeña una ventana, varios eventos en ella deben ser despreciables frente a uno.
Son condiciones del mecanismo, no conclusiones que se deduzcan de conocer su promedio.
Si duplicamos la duración con tasa estable, duplicamos lambda porque añadimos la misma exposición.
No podemos hacerlo sin revisar la tasa si cambia el entorno.
Ráfagas o grupos pueden generar una dispersión incompatible con Poisson: fijar bien la ventana es el primer paso, no toda la validación del modelo.
Palabras y símbolos de esta lección
- λ · Media de un recuento Poisson
Se lee: lambda.
Es el número esperado de eventos en la exposición indicada. No es una probabilidad. Para obtenerla multiplicamos una tasa por la duración o exposición.
Ejemplo: Dos llegadas por minuto durante tres minutos dan λ = 6.
- eˣ, exp(x) · Exponencial natural
Se lee: e elevado a x; exponencial de x.
Son dos escrituras de la misma función. La base e vale aproximadamente 2,71828. Una calculadora científica permite evaluarla.
Ejemplo: e⁰ = 1; exp(−1) es aproximadamente 0,3679.
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- n! · Factorial
Se lee: ene factorial.
Multiplica los enteros de uno hasta n. Por definición, cero factorial vale uno.
Ejemplo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
¿Cómo pasamos de una tasa a un recuento esperado?
Un sensor registra apariciones. Si la tasa es 1,5 por hora y observamos dos horas, el número esperado es 1,5 × 2 = 3. Ese promedio para la exposición elegida se llama lambda. No es una probabilidad: puede ser mayor que uno.
La distribución Poisson describe recuentos cero, uno, dos y así sucesivamente. Su mecanismo supone tasa estable y apariciones en intervalos separados que no se informan entre sí. Si una aparición desencadena otras, el agrupamiento puede invalidar ese mecanismo.
Un intervalo, un recuento
La Poisson describe un recuento no negativo cuyo parámetro es el número esperado de eventos en la exposición considerada. En un proceso homogéneo, una tasa por hora multiplicada por las horas observadas produce ese parámetro. Duplicar la exposición duplica la media si la tasa permanece constante.
Como mecanismo generador, se suponen incrementos independientes, tasa estable y una probabilidad despreciable de múltiples eventos en un intervalo muy pequeño. Agrupamientos, brotes o cambios de tasa pueden producir recuentos más variables que una Poisson. Su igualdad entre media y varianza es una restricción del modelo, no una ley de todos los recuentos biológicos.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Para ninguna aparición, la fórmula se reduce a exp(−3), aproximadamente 0,0498. Para exactamente dos, calculamos exp(−3) × 3²/2!; 2! vale dos. Obtenemos aproximadamente 0,2240. La potencia y el factorial corresponden al recuento preguntado, no a las horas.
Poisson impone que media y varianza sean lambda. No todos los recuentos biológicos cumplen eso. Una binomial con muchos ensayos y éxito raro puede aproximarse por Poisson usando lambda = n × p, pero hay que declarar que es una aproximación y revisar la pregunta concreta.
Un intervalo, un recuento
La Poisson describe un recuento no negativo cuyo parámetro es el número esperado de eventos en la exposición considerada. En un proceso homogéneo, una tasa por hora multiplicada por las horas observadas produce ese parámetro. Duplicar la exposición duplica la media si la tasa permanece constante.
Como mecanismo generador, se suponen incrementos independientes, tasa estable y una probabilidad despreciable de múltiples eventos en un intervalo muy pequeño. Agrupamientos, brotes o cambios de tasa pueden producir recuentos más variables que una Poisson. Su igualdad entre media y varianza es una restricción del modelo, no una ley de todos los recuentos biológicos.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad de ka eventos: e elevado a menos lambda por lambda elevado a ka dividido entre ka factorial. La media y la varianza son lambda.
Lambda es el número esperado de eventos en una exposición definida, no una probabilidad.
Apariciones en una cámara de observación
Un mecanismo ficticio tiene tasa de 1,5 apariciones por hora. En dos horas, el parámetro es tres y la probabilidad de ninguna aparición es . Si cada aparición desencadena otras, la hipótesis de incrementos independientes deja de ser razonable.
Desarrollo escrito del ejemplo
X cuenta llegadas de bacterias a un sensor durante una ventana de observación.
Datos y supuestos
- Tasa: 3 llegadas por minuto; ventana: 2 minutos.
- k = 4; soporte X = 0,1,2,...
- Proceso de Poisson homogéneo: tasa constante e incrementos independientes.
- La probabilidad de dos llegadas en un intervalo muy breve es despreciable frente a su duración.
Calcula P(X = k).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X = k). El parámetro lambda cuenta eventos esperados en la exposición especificada. La masa combina la exponencial negativa, la potencia de lambda y el factorial del recuento. Para una cola sumamos masas o usamos el complemento de la acumulada. Para este apartado: La media de la ventana es tasa por duración.
Ajustar la ventana
λ = 3 × 2 = 6 llegadas esperadas.
Sustituir y calcular
Lambda vale 6 y k vale 4. El factorial 4! significa multiplicar los enteros desde 1 hasta 4: vale 24. La potencia 6 elevada a 4 vale 1296. La exponencial de menos 6 vale aproximadamente 0,002478752. Multiplicamos esa exponencial por 1296 y dividimos entre 24: obtenemos 0,1338526.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,1338526 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. λ es un número esperado de llegadas, no una probabilidad.
λ es un número esperado de llegadas, no una probabilidad.
Calcula P(X > k), sin incluir k.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X > k), sin incluir k. El parámetro lambda cuenta eventos esperados en la exposición especificada. La masa combina la exponencial negativa, la potencia de lambda y el factorial del recuento. Para una cola sumamos masas o usamos el complemento de la acumulada. Para este apartado: El complemento de X > k es X ≤ k.
Identificar lo que queda fuera
Más de 4 excluye los recuentos desde cero hasta 4. Es más corto sumar esos recuentos y restar su probabilidad de uno.
Sumar y complementar
Las masas excluidas son, aproximadamente, 0,002478752 + 0,01487251 + 0,04461754 + 0,08923508 + 0,1338526. Suman 0,2850565; al restarlas de uno queda 0,7149435.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,7149435 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. La cola empieza en 5, no en 4.
La cola empieza en 5, no en 4.
Una aproximación, no una identidad
Una binomial con muchos ensayos y probabilidad pequeña puede aproximarse por una Poisson con media igual al producto del número de ensayos por la probabilidad. El límite mantiene ese producto mientras la probabilidad se reduce. No basta con que el número de ensayos sea grande ni con que el resultado sea un recuento.
En un ejercicio puedes comparar el cálculo exacto binomial con la aproximación para valorar su error en la cola que interesa. No hay un umbral universal que garantice igual precisión para cualquier pregunta. La suma de variables Poisson independientes vuelve a ser Poisson con la suma de sus parámetros; sin independencia esta propiedad no se aplica automáticamente.
Fórmulas del apartado
Se lee: Lambda es tasa erre por exposición te. Una binomial de ene ensayos y probabilidad pe puede aproximarse por Poisson de media ene por pe para eventos raros.
r es una tasa y t la exposición; la aproximación debe revisarse para la pregunta concreta.