Bernoulli y binomial: ensayos con dos resultados
Apuntes, tema 3 · 3.1.1 y 3.1.2: Bernoulli y binomial; asociación con ejercicios 2.4 y 2.6Abrir el PDF en la página 1
Objetivos de la lección
- Distinguir el indicador de un ensayo del número de éxitos.
- Justificar los supuestos de una binomial.
Apartado 1 de 3
De un indicador a un recuento fijo
Transcripción
Hola, empecemos por una sola semilla: el indicador i vale uno si germina y cero si no, y esos son sus únicos valores posibles.
Vamos a distinguir ese resultado individual del recuento de un lote de tres.
El indicador registra qué ocurrió en una semilla; todavía no estamos contando todo el lote.
Llamamos pe a la probabilidad de germinar: el uno recibe masa pe y el cero, uno menos pe, porque son resultados complementarios.
Eso define una Bernoulli.
Éxito solo nombra el resultado que decidimos contar; pe puede ir de cero a uno, incluidos los casos seguros.
Ahora equis cuenta las germinaciones de las tres semillas.
Sumamos los indicadores porque cada germinación aporta exactamente una unidad y cada fracaso ninguna.
El recuento va de cero a tres.
Será binomial si fijamos esos tres ensayos antes de observarlos, son independientes y comparten la misma pe.
Tomemos pe una mitad y pidamos exactamente dos germinaciones.
No basta mirar un orden: pueden germinar las dos primeras, la primera y la última, o las dos últimas.
Los patrones uno uno cero, uno cero uno y cero uno uno son distintos, pero todos dan equis dos.
La independencia permite multiplicar tres probabilidades de una mitad, por eso cada patrón pesa un octavo.
Como los tres patrones son incompatibles, sus probabilidades se suman: tres por un octavo da tres octavos.
Esta es la probabilidad del recuento dos, no de un orden particular.
Palabras y símbolos de esta lección
- n, p, k, r · Ensayos y éxitos
Se lee: ene; pe; ka; erre.
n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.
Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.
- C(n,k), binom(n,k) · Combinaciones
Se lee: ene sobre ka; combinaciones de ene elementos tomados de ka en ka.
Cuenta grupos de k elementos elegidos de n sin repetir y sin distinguir el orden. La notación vertical de dos números no es una fracción.
Ejemplo: De A, B y C salen tres parejas: AB, AC y BC.
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
¿Cómo modelamos cuántas semillas germinan?
En un ensayo con una semilla llamamos éxito a germinar y fracaso a no germinar. Son etiquetas, no juicios de valor. Una Bernoulli registra uno o cero para ese ensayo. Una binomial suma los éxitos de un número fijo de ensayos.
Para usar una binomial necesitamos ensayos independientes y la misma probabilidad p en todos. n cuenta las semillas y k las germinaciones que preguntamos. Compartir maceta o mezclar condiciones puede romper esas hipótesis: la fórmula no las garantiza.
De un ensayo a varios
Una Bernoulli registra uno si ocurre el suceso elegido y cero si no. La palabra éxito solo etiqueta el suceso contado; no expresa una valoración biológica. Su parámetro es la probabilidad de ese suceso. La binomial cuenta éxitos en un número fijo de ensayos independientes con la misma probabilidad.
El coeficiente binomial cuenta qué posiciones pueden ser éxitos. Cada secuencia de posiciones tiene una probabilidad dada por el producto de las probabilidades de éxito y fracaso. Se suman las secuencias equivalentes para obtener la masa del recuento. La independencia y la constancia de la probabilidad explican ese producto; no son detalles opcionales.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Con ocho semillas y p = 0,25, un patrón concreto con dos éxitos y seis fracasos tiene probabilidad 0,25² × 0,75⁶. Hay veintiocho maneras de colocar esos dos éxitos. Multiplicamos por veintiocho: la probabilidad de exactamente dos es aproximadamente 0,311.
Para al menos una germinación es más corto excluir ninguna: 1 − 0,75⁸. La media del recuento es 8 × 0,25 = 2; no obliga a obtener dos en cada lote. Para al menos k, el complemento termina en , porque el resultado k sí debe quedarse.
De un ensayo a varios
Una Bernoulli registra uno si ocurre el suceso elegido y cero si no. La palabra éxito solo etiqueta el suceso contado; no expresa una valoración biológica. Su parámetro es la probabilidad de ese suceso. La binomial cuenta éxitos en un número fijo de ensayos independientes con la misma probabilidad.
El coeficiente binomial cuenta qué posiciones pueden ser éxitos. Cada secuencia de posiciones tiene una probabilidad dada por el producto de las probabilidades de éxito y fracaso. Se suman las secuencias equivalentes para obtener la masa del recuento. La independencia y la constancia de la probabilidad explican ese producto; no son detalles opcionales.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad de equis igual a ka: combinaciones de ene tomados de ka por pe elevado a ka por uno menos pe elevado a ene menos ka. La media es ene por pe; la varianza añade uno menos pe.
n es un número fijo de ensayos y p una probabilidad constante con ensayos independientes.
Se lee: Probabilidad de al menos un éxito: uno menos la probabilidad de que fallen los ene ensayos, uno menos pe elevado a ene.
Se excluye el único tipo de resultado sin éxitos.
Germinación ficticia bajo condiciones constantes
Ocho semillas independientes germinan con probabilidad 0,25 cada una. El recuento esperado es dos y la varianza 1,5. La probabilidad de exactamente dos es veintiocho por 0,25 al cuadrado por 0,75 a la sexta, aproximadamente 0,311. Compartir maceta podría invalidar la independencia; la fórmula no resuelve ese problema de diseño.
Desarrollo escrito del ejemplo
X cuenta semillas que germinan en un lote de ensayos controlados.
- n, p, k, r · Ensayos y éxitos
Se lee: ene; pe; ka; erre.
n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.
Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.
- C(n,k), binom(n,k) · Combinaciones
Se lee: ene sobre ka; combinaciones de ene elementos tomados de ka en ka.
Cuenta grupos de k elementos elegidos de n sin repetir y sin distinguir el orden. La notación vertical de dos números no es una fracción.
Ejemplo: De A, B y C salen tres parejas: AB, AC y BC.
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
Datos y supuestos
- n = 10 semillas, probabilidad de germinación p = 0,3, k = 3.
- X toma valores enteros de 0 a n.
- Número de ensayos fijo, dos resultados por ensayo.
- Ensayos independientes con la misma probabilidad p.
Calcula P(X = k).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X = k). Hay un número fijo de ensayos independientes con la misma probabilidad. Una secuencia con k éxitos tiene un producto de k factores p y n menos k factores de fracaso; el coeficiente binomial cuenta las posiciones equivalentes. Para este apartado: Además de la probabilidad de un patrón, cuenta las posiciones posibles de los éxitos.
Elegir el modelo
X sigue una binomial con 10 ensayos: cada semilla germina con probabilidad 0,3, independientemente de las demás.
Contar posiciones
Elegimos qué 3 de las 10 semillas germinan. La combinación C(10,3) cuenta 120 grupos distintos, sin distinguir el orden dentro de cada grupo.
Ponderar un patrón
Un patrón concreto tiene 3 germinaciones y 7 fallos. Su probabilidad es 0,3^3 × 0,7^7 = 0,002223566.
Reunir los patrones
Los 120 patrones no pueden ocurrir a la vez. Sumamos sus probabilidades multiplicando el número de patrones por la de uno: obtenemos 0,2668279.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,2668279 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Es la probabilidad de exactamente 3 germinaciones.
Es la probabilidad de exactamente 3 germinaciones.
Calcula P(X ≤ k), incluyendo k.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X ≤ k), incluyendo k. Hay un número fijo de ensayos independientes con la misma probabilidad. Una secuencia con k éxitos tiene un producto de k factores p y n menos k factores de fracaso; el coeficiente binomial cuenta las posiciones equivalentes. Para este apartado: Incluye todos los enteros desde cero hasta k.
Elegir los recuentos incluidos
Como se permite k, incluimos 0, 1, 2, 3 germinaciones. Son resultados distintos, por lo que sumamos sus probabilidades.
Sumar las masas
Las probabilidades son, aproximadamente, 0,02824752 + 0,1210608 + 0,2334744 + 0,2668279. Su suma es 0,6496107. Una calculadora de acumuladas binomiales realiza esta misma suma.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,6496107 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Para P(X < k) habría que evaluar la CDF en k−1.
Para P(X < k) habría que evaluar la CDF en k−1.
Qué puede romper el modelo
Un cultivo con interacciones entre individuos puede no producir ensayos independientes. Mezclar individuos con probabilidades diferentes tampoco da automáticamente una binomial. Si extraemos una fracción importante de una población finita sin reemplazo, el modelo natural será hipergeométrico.
La media del recuento es el número de ensayos por la probabilidad, y su varianza añade el factor de fracaso. La probabilidad de al menos un éxito suele calcularse mediante el complemento de ninguno. Para colas discretas, al menos k empieza en k: al usar una acumulada, se resta .