Calcular con distribuciones y comprobar supuestos
Apuntes, tema 3 · 3.1.8, 3.2.8 y 3.3: resúmenes y cálculo con R y Python; revisión de modelos como apoyo didácticoAbrir el PDF en la página 11
Objetivos de la lección
- Distinguir masa o densidad, acumulada, cuantil y simulación.
- Seleccionar un modelo por el mecanismo y no por su nombre.
Apartado 1 de 3
La calculadora responde a la pregunta que recibe
Transcripción
Hola.
Un programa puede devolver un número correcto para una pregunta equivocada.
En una normal de media veinte y desviación tres, evaluar la densidad en veintiséis no responde a superar veintiséis: la primera consulta devuelve altura y la segunda pide área.
Antes de elegir una función escribamos qué buscamos.
Hay cuatro operaciones distintas.
La masa da probabilidad exacta de un valor discreto y la densidad una altura continua; la acumulada reúne valores hasta un umbral.
El cuantil recibe una proporción y devuelve un umbral.
La generación recibe parámetros y produce realizaciones aleatorias del modelo, no una probabilidad calculada.
En R los prefijos habituales son de para masa o densidad, pe para acumulada, cu para cuantil y erre para generación.
En SciPy distinguimos pmf y pdf, cdf, ppf y rvs.
Son nombres que elegimos después de identificar la operación; de o pdf no son atajos para calcular una cola.
Las unidades permiten detectar una confusión: densidad tiene unidades inversas de la medida; cuantil y realizaciones tienen las unidades originales; una probabilidad de cola no tiene unidades y queda entre cero y uno.
Una masa también queda en ese rango, pero una altura de densidad puede superar uno sin invalidar el modelo.
Revisemos además la parametrización.
Escribimos la normal con varianza como segundo parámetro, pero muchos programas piden desviación típica.
En esperas podemos encontrar tasa en vez de escala.
Que el programa acepte el argumento solo garantiza que pudo evaluarlo, no que representa el mecanismo ni la pregunta previstos.
Palabras y símbolos de esta lección
- p_X(x) · Masa de probabilidad
Se lee: pe sub equis de x.
Es la probabilidad de un valor exacto de una variable discreta, que toma valores separados.
Ejemplo: Si P(X = 2) = 0,3, la masa en dos brotes es 0,3.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
- Q(u), q_u, F⁻¹(u) · Cuantil y percentil
Se lee: cuantil de u; cu sub u; inversa de la acumulada en u.
Busca un umbral que deja al menos la proporción u por debajo o en él. En una distribución con saltos puede superarla. No significa uno dividido entre F.
Ejemplo: El percentil 90 corresponde a u = 0,90.
- iid, X̄, S², s, n−1 · Muestra y resúmenes
Se lee: independientes e idénticamente distribuidas; equis barra; ese al cuadrado; ese; ene menos uno.
iid supone observaciones independientes del mismo modelo. X̄ es su media; S², la varianza muestral con divisor n−1; s es la desviación calculada en una muestra concreta.
Ejemplo: Cinco lecturas de suma 50 tienen media 10. iid es una hipótesis, no algo garantizado por tener cinco filas.
¿Qué pregunta estamos haciendo a la calculadora?
Una calculadora puede dar una masa, una densidad, una acumulada, un cuantil o resultados simulados. No son nombres distintos de la misma operación. Antes de escribir una función, expresa la pregunta con palabras: exactamente cuánto, hasta cuánto, por encima de cuánto o qué umbral deja cierta proporción.
Para una normal de media veinte y desviación tres, superar veintiséis equivale a superar dos desviaciones. Se calcula la cola derecha, 1 − Φ(2) ≈ 0,0228. Evaluar la densidad en veintiséis da una altura por unidad, no esa probabilidad.
Cuatro operaciones diferentes
Los programas estadísticos distinguen evaluar una masa o densidad, calcular una acumulada, obtener un cuantil y generar realizaciones. En R, las familias de funciones suelen empezar respectivamente por d, p, q y r; en bibliotecas de Python se distinguen pmf o pdf, cdf, ppf y rvs. Reconocer la operación importa más que memorizar el nombre de una función concreta.
Una función de densidad aplicada a un umbral no calcula la probabilidad de superar ese umbral. Una acumulada normalmente devuelve la cola inferior, y un cuantil devuelve un valor de la variable, con sus unidades, no una probabilidad. Comprueba siempre el significado del argumento, especialmente varianza frente a desviación y escala frente a tasa.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad de superar ce: uno menos la acumulada en ce. Para un recuento entero, al menos ka complementa la acumulada en ka menos uno.
La cola estricta y la inclusiva difieren cuando el umbral puede tener masa.
Hacer la cuenta y entender el resultado
En una variable discreta, exactamente k usa su masa; como máximo k usa su acumulada F(k); al menos k usa 1 − F(k−1). Un cuantil invierte la acumulada y devuelve un valor de la variable. Una simulación genera valores, no una probabilidad exacta.
R suele identificar esas operaciones con d, p, q y r. Python usa nombres como pmf o pdf, cdf, ppf y rvs. No necesitas memorizar todas las llamadas para razonar: comprueba qué recibe y qué devuelve cada función, sus unidades y la convención de los parámetros. Un resultado sin error de software aún puede responder a la pregunta equivocada.
Una consulta reproducible, con unidades
Supón una medición normal de media 20 y desviación 3. Para superar 26, primero z es dos. En R, pnorm(26, mean=20, sd=3, lower.tail=FALSE) pide la cola superior. En SciPy, tras importar norm de scipy.stats, norm.sf(26, loc=20, scale=3) hace la misma consulta. Ambas devuelven aproximadamente 0,022750; no es la densidad en 26.
Para el percentil 90, qnorm(0.9, mean=20, sd=3) o norm.ppf(0.9, loc=20, scale=3) devuelven aproximadamente 23,8447, en unidades de la medición. Para una binomial, exactamente k usa dbinom o pmf; como máximo k usa pbinom o cdf. Al menos k complementa la acumulada en k menos uno. El aula realiza estas operaciones sin necesitar que instales R o Python.
Fórmulas del apartado
Se lee: Cuantil de u tiene las unidades de equis. La densidad de equis tiene las unidades inversas. Las probabilidades no tienen unidades.
Las unidades ayudan a distinguir el resultado de un cuantil del valor de una densidad.
Revisar una consulta normal
En un modelo normal ficticio de media 20 y desviación típica 3, pedir la densidad en 26 no da la probabilidad de superar 26. Hay que tipificar a dos y consultar la cola superior, aproximadamente 0,0228. La densidad y la probabilidad tendrán unidades diferentes; esa comprobación descubre el error aunque el software acepte ambas llamadas.
Desarrollo escrito del ejemplo
La longitud X de un tipo de célula se modeliza con una distribución normal.
- X ∼ N(μ,σ²), Φ(z) · Normal y acumulada estándar
Se lee: equis sigue una normal de media mu y varianza sigma al cuadrado; fi de zeta.
∼ significa sigue la distribución. Φ devuelve el área a la izquierda en una normal de media cero y desviación uno.
Ejemplo: Φ(0) = 0,5: la mitad de la campana queda a la izquierda de su centro.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
- z = (x−μ)/σ · Tipificar
Se lee: zeta es equis menos mu dividido entre sigma.
Resta la media y divide por la desviación típica. El resultado indica cuántas desviaciones separan el valor del centro.
Ejemplo: Con media 40 y desviación 4, el valor 48 está a dos desviaciones: z = 2.
- Q(u), q_u, F⁻¹(u) · Cuantil y percentil
Se lee: cuantil de u; cu sub u; inversa de la acumulada en u.
Busca un umbral que deja al menos la proporción u por debajo o en él. En una distribución con saltos puede superarla. No significa uno dividido entre F.
Ejemplo: El percentil 90 corresponde a u = 0,90.
- eˣ, exp(x) · Exponencial natural
Se lee: e elevado a x; exponencial de x.
Son dos escrituras de la misma función. La base e vale aproximadamente 2,71828. Una calculadora científica permite evaluarla.
Ejemplo: e⁰ = 1; exp(−1) es aproximadamente 0,3679.
- √x · Raíz cuadrada
Se lee: raíz cuadrada de x.
Devuelve el número no negativo cuyo cuadrado es x. Se usa con x no negativo.
Ejemplo: La raíz de 9 es 3 porque 3 × 3 = 9.
- π · Constante pi
Se lee: el número pi.
Es una constante matemática, aproximadamente 3,14159. En una fórmula de densidad normal no es un parámetro que se estime ni una probabilidad.
Ejemplo: Dos por pi es aproximadamente 6,28318.
Datos y supuestos
- Media μ = 24 micrómetros; desviación típica σ = 4 micrómetros (no varianza).
- Intervalo: [20, 32]; soporte teórico: toda la recta real.
- El modelo normal es una aproximación adecuada en el rango de interés.
- No se está afirmando que todas las longitudes biológicas sigan una normal.
Calcula P(μ−σ ≤ X ≤ μ+2σ).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(μ−σ ≤ X ≤ μ+2σ). Restar la media y dividir por la desviación típica traduce el umbral a desviaciones respecto al centro. Phi acumula la normal estándar; un intervalo resta dos acumuladas y una cola derecha usa el complemento. Un cuantil invierte esta operación. Para este apartado: Tipifica los extremos y resta las acumuladas.
Tipificar
(20 - 24)/4 = -1; (32 - 24)/4 = 2.
Consultar las dos áreas
Φ se lee fi y da el área a la izquierda. Una tabla o calculadora normal da Φ(2) = 0,9772499 y Φ(−1) = 0,1586553.
Restar las áreas
La primera área incluye también todo lo que queda a la izquierda de −1. Lo quitamos: 0,9772499 − 0,1586553 = 0,8185946. Queda solo el intervalo entre ambos umbrales.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,8185946 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Los límites abiertos o cerrados no cambian la probabilidad continua.
Los límites abiertos o cerrados no cambian la probabilidad continua.
Calcula el percentil 95 de X.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula el percentil 95 de X. Restar la media y dividir por la desviación típica traduce el umbral a desviaciones respecto al centro. Phi acumula la normal estándar; un intervalo resta dos acumuladas y una cola derecha usa el complemento. Un cuantil invierte esta operación. Para este apartado: Busca primero z con Φ(z)=0,95 y deshaz la tipificación.
Buscar un área, no una altura
Buscamos en una tabla o calculadora el z que deja el 95 % del área a su izquierda: Φ(z)=0,95. Ese z es aproximadamente 1,644854; Φ inversa deshace la acumulación.
Volver a la escala original
24 + 4 × 1,644854 = 30,57941 micrómetros. Multiplicamos por la desviación para recuperar unidades y sumamos la media para recuperar el centro.
Comprobar e interpretar
El resultado es 30,57941 micrómetros. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Bajo el modelo, el 95% de las longitudes no supera ese valor.
Bajo el modelo, el 95% de las longitudes no supera ese valor.
Un itinerario para elegir
Primero identifica la variable y su soporte: indicador, recuento, proporción o duración. Después describe el diseño: número fijo de ensayos, parada al lograr éxitos, extracción sin reemplazo o exposición temporal. Solo entonces elige una familia y escribe sus hipótesis de independencia, homogeneidad y resolución.
Compara los resúmenes y las colas que el modelo implica con lo observado, sin exigir igualdad exacta en una muestra pequeña. Simular permite detectar errores de implementación, pero no reemplaza la evidencia del diseño. Guardar una semilla ayuda a reproducir una simulación; no la vuelve más representativa. La documentación de fuentes registra las asociaciones de práctica sin reproducir las soluciones de la evaluación actual.
El resumen de las familias del Tema 3 (3.1.8 y 3.2.8) puede leerse como una matriz de decisiones. En esta tabla p es una probabilidad; α es escala, no tasa. Los soportes continuos se indican salvo extremos de probabilidad cero.
| Familia y soporte | Criterio y dominio | Media; varianza |
|---|---|---|
| Bernoulli: {0,1} | Un indicador, 0≤p≤1 | p; p(1−p) |
| Binomial: {0,...,n} | n entero no negativo, ensayos independientes con p común | np; np(1−p) |
| Poisson: {0,1,...} | Recuento por exposición, λ>0; λ=0 es degenerado | λ; λ |
| Uniforme discreta: {a,...,b} | Enteros consecutivos equiprobables; m=b−a+1≥1 | (a+b)/2; (m2−1)/12 |
| Hipergeométrica: max(0,n−N+K),...,min(n,K) | Muestra uniforme sin reemplazo, enteros 0≤K,n≤N, N>1 | nK/N; n(K/N)(1−K/N)(N−n)/(N−1) |
| Geométrica: {0,1,...} | Fracasos antes del primer éxito, 0<p≤1 | (1−p)/p; (1−p)/p2 |
| Binomial negativa: {0,1,...} | Fracasos antes de r éxitos independientes, r entero positivo, 0<p≤1; extensión r real positivo | r(1−p)/p; r(1−p)/p2 |
| Uniforme continua: (a,b) | Densidad constante, a<b | (a+b)/2; (b−a)2/12 |
| Exponencial: (0,+∞) | Espera sin envejecimiento, α>0 | α; α2 |
| Normal: toda la recta | Modelo gaussiano, μ real y σ>0 | μ; σ2 |
| Gamma: (0,+∞) | k,α>0; etapas exponenciales independientes de escala común si k entero | kα; kα2 |
| Cauchy estándar: toda la recta | Colas no integrables para la media | No existe; no definida |
| Weibull: (0,+∞) | α,β>0; riesgo variable, constante solo con β=1 | αΓ(1+1/β); α2[Γ(1+2/β)−Γ(1+1/β)2] |
La hipergeométrica con N=1 se trata directamente como un caso determinista, sin dividir por N−1. Si una geométrica cuenta ensayos, suma uno a su media, no a su varianza. En varias dimensiones, multinomial exige categorías excluyentes y exhaustivas y total fijo; normal bivariante exige normalidad conjunta y |ρ|<1 para tener densidad plana. La familia exponencial es una estructura de representación y no una decimocuarta distribución univariante. Estos criterios evitan elegir por similitud de medias: por ejemplo, binomial e hipergeométrica pueden compartir media y diferir en dispersión por el reemplazo.