Exponencial: tiempos y carencia de memoria
Apuntes, tema 3 · 3.2.2: exponencial, escala, carencia de memoria y relación con PoissonAbrir el PDF en la página 14
Objetivos de la lección
- Convertir entre tasa y escala.
- Interpretar supervivencia y carencia de memoria con sus hipótesis.
Apartado 1 de 3
Preguntar cuánto tardará el siguiente evento
Transcripción
Hola.
Supongamos una espera exponencial de media cinco minutos y preguntemos por seguir esperando después de diez.
El tiempo te es no negativo y no tiene máximo prefijado.
Alfa será la escala positiva, aquí cinco minutos: una espera media no es una cita a la que el evento deba llegar.
La misma distribución puede parametrizarse mediante tasa erre, la inversa de la escala.
Uno dividido entre cinco da dos décimas por minuto.
La inversión cambia tanto el número como la unidad: cinco minutos de escala no equivale a cinco eventos por minuto.
Ese de te, la supervivencia, pregunta por una espera mayor que te.
Su exponencial usa el tiempo dividido entre la escala: diez entre cinco da dos.
Este cociente sin unidades expresa cuántas escalas temporales han transcurrido y puede entrar en un exponente.
En la exponencial, seguir sin evento hasta ese tiempo tiene probabilidad exponencial de menos tiempo entre escala.
Sustituir el cociente dos da ese de diez igual a exponencial de menos dos.
El signo negativo hace que la supervivencia disminuya al prolongar la espera.
El resultado es aproximadamente cero coma ciento treinta y cinco: trece coma cinco por ciento de esperas superarían diez minutos.
La curva empieza en uno y baja hacia cero.
Cada altura representa una probabilidad de superar su tiempo, no una densidad ni el tiempo que falta a una persona concreta.
En un proceso Poisson homogéneo, esperar más de te equivale a observar cero eventos en ese intervalo.
Su masa en cero es la exponencial de menos tasa por tiempo: así aparece esta supervivencia.
La relación requiere tasa estable e incrementos independientes; una duración positiva no basta para justificarla.
Palabras y símbolos de esta lección
- α · Escala temporal
Se lee: alfa.
En las lecciones de tiempos, una escala positiva estira o encoge la duración. En la exponencial coincide con el tiempo medio; su inversa es la tasa.
Ejemplo: Escala 5 minutos: tasa exponencial 1/5 = 0,2 por minuto.
- eˣ, exp(x) · Exponencial natural
Se lee: e elevado a x; exponencial de x.
Son dos escrituras de la misma función. La base e vale aproximadamente 2,71828. Una calculadora científica permite evaluarla.
Ejemplo: e⁰ = 1; exp(−1) es aproximadamente 0,3679.
- S(t) · Supervivencia
Se lee: ese de te.
Es la probabilidad de que el tiempo del evento sea mayor que t. No requiere que el evento sea una muerte.
Ejemplo: S(10) = 0,2: el 20 % aún no presenta el evento a los diez minutos.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
¿Cuánto esperamos hasta la próxima aparición?
Una exponencial modela tiempos no negativos con un mecanismo de riesgo constante. Usamos alfa para la escala, que aquí es el tiempo medio. Si alfa vale cinco minutos, la tasa es su inversa: 1/5 = 0,2 por minuto. Una escala mayor alarga las esperas.
Supervivencia no significa necesariamente seguir vivo: es la probabilidad de que el tiempo del evento supere un umbral. Con escala cinco, esperar más de diez minutos tiene probabilidad exp(−10/5) = exp(−2), aproximadamente 0,1353.
Tiempo hasta un evento
La exponencial describe un tiempo no negativo. El documento usa una escala positiva que coincide con el tiempo medio. La tasa es su inversa. Una escala mayor alarga los tiempos; una tasa mayor los acorta. Es esencial declarar la convención porque distintos programas reciben parámetros diferentes.
La función de supervivencia expresa la probabilidad de que el tiempo supere un umbral. La acumulada expresa la probabilidad de que el evento ya haya ocurrido. En un proceso de Poisson homogéneo, el tiempo hasta el siguiente evento es exponencial con tasa igual a la del proceso. Esta relación depende de incrementos independientes y tasa estable.
Fórmulas del apartado
Se lee: Densidad: uno entre alfa por e elevado a menos te entre alfa. Supervivencia: la misma exponencial sin el factor inicial. La media es alfa y la varianza alfa al cuadrado.
Alfa es escala temporal positiva y la tasa es uno dividido por alfa; la densidad es cero para tiempos negativos.
Espera ficticia de una señal
Una espera tiene escala de cinco minutos y tasa 0,2 por minuto. La probabilidad de esperar más de diez minutos es la exponencial de menos dos, aproximadamente 0,1353. Si ya pasaron diez minutos sin señal, la probabilidad de esperar otros cinco es la exponencial de menos uno, aproximadamente 0,3679, bajo el mismo modelo.
Desarrollo escrito del ejemplo
T es el tiempo hasta la siguiente llegada a un detector en un proceso de Poisson homogéneo.
- α · Escala temporal
Se lee: alfa.
En las lecciones de tiempos, una escala positiva estira o encoge la duración. En la exponencial coincide con el tiempo medio; su inversa es la tasa.
Ejemplo: Escala 5 minutos: tasa exponencial 1/5 = 0,2 por minuto.
- r, λ · Tasa de una espera exponencial
Se lee: erre; lambda.
Una tasa mide eventos por unidad de tiempo; es la inversa de la escala temporal. Algunas fórmulas la llaman r y otras λ. No se debe confundir con la media de un recuento Poisson: al multiplicar la tasa por una duración obtenemos esa media.
Ejemplo: Tasa 0,2 por minuto: escala exponencial 1/0,2 = 5 minutos. En tres minutos la media Poisson es 0,6 eventos.
- S(t) · Supervivencia
Se lee: ese de te.
Es la probabilidad de que el tiempo del evento sea mayor que t. No requiere que el evento sea una muerte.
Ejemplo: S(10) = 0,2: el 20 % aún no presenta el evento a los diez minutos.
- eˣ, exp(x) · Exponencial natural
Se lee: e elevado a x; exponencial de x.
Son dos escrituras de la misma función. La base e vale aproximadamente 2,71828. Una calculadora científica permite evaluarla.
Ejemplo: e⁰ = 1; exp(−1) es aproximadamente 0,3679.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
Datos y supuestos
- Tasa λ = 0,25 por minuto; espera media = 4 minutos.
- Tiempo ya transcurrido t = 4; espera adicional s = 3 minutos; soporte T ≥ 0.
- Tasa constante e incrementos independientes.
- λ es la tasa por minuto; su inversa es la escala o espera media en minutos.
Calcula P(T > t).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(T > t). La tasa es el inverso del tiempo medio. La supervivencia es la exponencial negativa de tasa por tiempo; la acumulada es su complemento. La carencia de memoria procede de un riesgo constante, no de una fecha fija para el evento. Para este apartado: La supervivencia es uno menos la CDF.
Formar un exponente sin unidades
Multiplicamos la tasa 0,25 por minuto por 4 minutos: obtenemos 1. Los minutos se cancelan. El exponente de la supervivencia es el negativo de ese producto.
Evaluar la exponencial
La tecla exp de una calculadora evalúa e elevado a un número. exp(−1) = 0,3678794. Es el área a la derecha del tiempo indicado, no la altura de la densidad.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,3678794 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Es la probabilidad de que no haya llegado ningún evento durante t minutos.
Es la probabilidad de que no haya llegado ningún evento durante t minutos.
Hacer la cuenta y entender el resultado
La acumulada pregunta por un evento ocurrido como máximo en ese tiempo y es uno menos la supervivencia. Para un intervalo, restamos acumuladas o supervivencias en sus extremos. La densidad es otra cosa: probabilidad por minuto, no la probabilidad de una espera exacta.
Si ya esperamos diez minutos sin evento, la espera adicional mantiene la distribución original bajo este modelo. Esperar otros cinco tiene probabilidad exp(−1). No restamos diez a una fecha de llegada prevista: la media no es una cita fija. El supuesto puede fallar en sistemas que envejecen o se adaptan.
Tiempo hasta un evento
La exponencial describe un tiempo no negativo. El documento usa una escala positiva que coincide con el tiempo medio. La tasa es su inversa. Una escala mayor alarga los tiempos; una tasa mayor los acorta. Es esencial declarar la convención porque distintos programas reciben parámetros diferentes.
La función de supervivencia expresa la probabilidad de que el tiempo supere un umbral. La acumulada expresa la probabilidad de que el evento ya haya ocurrido. En un proceso de Poisson homogéneo, el tiempo hasta el siguiente evento es exponencial con tasa igual a la del proceso. Esta relación depende de incrementos independientes y tasa estable.
La hipótesis de no envejecimiento
La carencia de memoria afirma que, después de esperar sin evento, la distribución de la espera adicional sigue siendo la original. No dice que los tiempos individuales sean iguales ni que una molécula tenga memoria psicológica. Dice que el riesgo instantáneo no cambia con la duración ya transcurrida.
Muchos organismos y dispositivos envejecen, se adaptan o atraviesan fases, por lo que una exponencial puede ser una simplificación inadecuada. Usar un modelo de tiempo requiere además pensar en censura si la observación termina antes del evento; esa cuestión se menciona aquí como cautela y no se desarrolla como un método de análisis de supervivencia.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad de esperar más de ese más te, sabiendo que ya esperamos ese, es la probabilidad original de esperar más de te. Ese y te son tiempos no negativos.
La espera adicional tiene la misma distribución bajo un mecanismo sin envejecimiento.
Desarrollo escrito del ejemplo
T es el tiempo hasta la siguiente llegada a un detector en un proceso de Poisson homogéneo.
- α · Escala temporal
Se lee: alfa.
En las lecciones de tiempos, una escala positiva estira o encoge la duración. En la exponencial coincide con el tiempo medio; su inversa es la tasa.
Ejemplo: Escala 5 minutos: tasa exponencial 1/5 = 0,2 por minuto.
- r, λ · Tasa de una espera exponencial
Se lee: erre; lambda.
Una tasa mide eventos por unidad de tiempo; es la inversa de la escala temporal. Algunas fórmulas la llaman r y otras λ. No se debe confundir con la media de un recuento Poisson: al multiplicar la tasa por una duración obtenemos esa media.
Ejemplo: Tasa 0,2 por minuto: escala exponencial 1/0,2 = 5 minutos. En tres minutos la media Poisson es 0,6 eventos.
- S(t) · Supervivencia
Se lee: ese de te.
Es la probabilidad de que el tiempo del evento sea mayor que t. No requiere que el evento sea una muerte.
Ejemplo: S(10) = 0,2: el 20 % aún no presenta el evento a los diez minutos.
- eˣ, exp(x) · Exponencial natural
Se lee: e elevado a x; exponencial de x.
Son dos escrituras de la misma función. La base e vale aproximadamente 2,71828. Una calculadora científica permite evaluarla.
Ejemplo: e⁰ = 1; exp(−1) es aproximadamente 0,3679.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
Datos y supuestos
- Tasa λ = 0,25 por minuto; espera media = 4 minutos.
- Tiempo ya transcurrido t = 4; espera adicional s = 3 minutos; soporte T ≥ 0.
- Tasa constante e incrementos independientes.
- λ es la tasa por minuto; su inversa es la escala o espera media en minutos.
Calcula P(T > t+s | T > t).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(T > t+s | T > t). La tasa es el inverso del tiempo medio. La supervivencia es la exponencial negativa de tasa por tiempo; la acumulada es su complemento. La carencia de memoria procede de un riesgo constante, no de una fecha fija para el evento. Para este apartado: La condición indica que la espera ya ha superado t.
Escribir el cociente condicionado
P(T>7)/P(T>4) = exp(-λ(4+3))/exp(-λ4).
Cancelar el tiempo transcurrido
Al dividir exponenciales de la misma base restamos exponentes. El término del tiempo ya transcurrido se cancela: queda exp(−0,25 × 3) = 0,4723666. Solo interviene la espera adicional.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,4723666 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. La falta de memoria es una propiedad de este modelo, no de cualquier tiempo biológico.
La falta de memoria es una propiedad de este modelo, no de cualquier tiempo biológico.
Ejemplo resuelto
Cargando ejercicios...