Momentos, colas y transformaciones
Apuntes, tema 2 · 2.13 y ejemplos de 2.15; estandarización y cambio de variable como ampliación didácticaAbrir el PDF en la página 14
Objetivos de la lección
- Distinguir momentos ordinarios, centrales y estandarizados.
- Transformar una acumulada con atención a desigualdades y soporte.
Apartado 1 de 4
Cada potencia conserva información distinta
Transcripción
Hola.
Un momento es el promedio de una potencia de la variable.
Nos ayudará, por ejemplo, a relacionar una longitud con su cuadrado, sin confundir el promedio de áreas con el cuadrado de la longitud media.
Empecemos distinguiendo qué cantidad elevamos a la potencia.
Eme sub ka es el momento ordinario de orden ka: elevamos cada valor original a esa potencia y luego lo ponderamos según su probabilidad.
Ka indica un orden entero positivo.
Al no retirar el centro, este resumen combina información de posición y de dispersión.
Mu sub ka es el momento central del mismo orden: primero restamos la esperanza y después elevamos la desviación a la potencia.
Así medimos respecto al centro de la distribución, no respecto al cero del eje.
Las potencias pares evitan cancelaciones de signo; las impares pueden conservarlas.
Con cero y dos equiprobables la media es uno.
Los cuadrados originales son cero y cuatro: su promedio da dos.
Las desviaciones respecto a uno son menos uno y uno; sus cuadrados valen ambos uno y promedian uno.
Por eso el segundo ordinario y el segundo central son diferentes.
El primer ordinario es la esperanza.
El primer central vale cero porque las desviaciones se equilibran al promediarlas, y el segundo central es la varianza.
Estas afirmaciones necesitan los momentos correspondientes: para un momento finito de orden ka comprobamos que la esperanza del valor absoluto elevado a ka sea finita.
Palabras y símbolos de esta lección
- m_k, μ_k · Momento
Se lee: eme sub ka; mu sub ka.
Un momento promedia potencias. El ordinario usa los valores originales; el central, las distancias a la media. k indica la potencia, no una observación.
Ejemplo: El segundo momento central es la varianza; el segundo ordinario es E[X²].
- f(x), g(x) · Función
Se lee: efe de x; ge de x.
Una función es una regla que transforma una entrada en una salida. Los paréntesis indican la entrada: f(x) no significa f multiplicado por x.
Ejemplo: Si g(x) = x², entonces g(3) = 9.
- g⁻¹(y) · Función inversa
Se lee: ge inversa de y.
Deshace la regla g en el tramo donde cada salida procede de una sola entrada. No significa uno dividido entre g.
Ejemplo: Para g(x) = x² con x no negativo, g⁻¹(9) = 3.
- G′(x), dG/dx · Derivada y primitiva
Se lee: ge prima de x; derivada de ge respecto de x.
La derivada mide el cambio local o pendiente. G es una primitiva de f si al derivar G obtenemos f.
Ejemplo: Si G(x) = x²/2, su derivada es x. Entre 0 y 2, la integral de x vale G(2) − G(0) = 2.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
¿Qué cambia si convertimos una longitud en un área?
Una transformación aplica una regla a cada valor: si X es una longitud normalizada, Y = X² puede representar un área. Para saber cómo se reparte Y no basta con cambiar la letra de una fórmula: tenemos que traducir qué longitudes producen cada área.
Si X es uniforme entre cero y uno, Y no supera 0,25 cuando X no supera 0,5. Esa probabilidad es 0,5, no 0,25. En general, para un umbral y entre cero y uno, la acumulada de Y vale . La raíz deshace el cuadrado en este intervalo no negativo.
Qué resumen conserva cada momento
El momento ordinario de orden uno es la esperanza; el de orden dos promedia cuadrados. Los momentos centrales usan desviaciones respecto a la media: el primero es cero y el segundo es la varianza. Para comparar formas sin unidades se pueden estandarizar momentos dividiendo por potencias de la desviación típica positiva.
Como ampliación de la definición general de momentos, el tercer momento estandarizado ayuda a describir asimetría y el cuarto, la importancia de las colas. No son sustitutos de una distribución completa ni existen necesariamente. Simetría no garantiza una media finita; valores extremos poco frecuentes pueden hacer divergir integrales que parecen razonables en una muestra pequeña.
Fórmulas del apartado
Se lee: Eme sub ka es esperanza de equis elevado a ka. Mu sub ka es esperanza de la desviación respecto a la media elevada a ka: momento ordinario y central, respectivamente.
Los momentos ordinarios y centrales ponderan potencias distintas; se comprueba su existencia.
Desarrollo escrito del ejemplo
Una señal de concentración X toma dos valores equiprobables. El instrumento transforma la señal en Y=X².
- f(x), g(x) · Función
Se lee: efe de x; ge de x.
Una función es una regla que transforma una entrada en una salida. Los paréntesis indican la entrada: f(x) no significa f multiplicado por x.
Ejemplo: Si g(x) = x², entonces g(3) = 9.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
Datos y supuestos
- X=1 o X=7 unidades, cada uno con probabilidad 1/2.
- Y se expresa en unidades al cuadrado.
- La transformación es no lineal y convexa.
- Los momentos son finitos; no se intercambia esperanza y función sin justificación.
Calcula E[Y]=E[X²].
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula E[Y]=E[X²]. Primero transformamos cada resultado y después ponderamos por su probabilidad original. Una operación no lineal, como elevar al cuadrado, no se puede aplicar simplemente a la media; se necesita calcular la esperanza de los valores transformados. Para este apartado: Transforma cada resultado antes de promediar.
Transformar los resultados
Y toma 1 y 49.
Promediar las transformaciones
(1+49)/2=25.
Comprobar e interpretar
El resultado es 25 unidades al cuadrado. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Elevar la media 4 al cuadrado daría 16, que no es E[X²].
Elevar la media 4 al cuadrado daría 16, que no es E[X²].
Hacer la cuenta y entender el resultado
Un momento ordinario de orden k promedia los valores elevados a k. Un momento central promedia las desviaciones respecto a la media elevadas a k, conservando su signo antes de aplicar la potencia. El primero ordinario es la media y el segundo central es la varianza. Un subíndice k indica qué potencia usamos.
Si la regla crece, traducir un umbral conserva el sentido de la desigualdad; si decrece, lo invierte. Si hay varias entradas para la misma salida, hay que reunirlas todas. Al transformar densidades también cambia la anchura de los intervalos: la derivada de la inversa corrige ese cambio para conservar probabilidades.
Desarrollo escrito del ejemplo
Una señal de concentración X toma dos valores equiprobables. El instrumento transforma la señal en Y=X².
- f(x), g(x) · Función
Se lee: efe de x; ge de x.
Una función es una regla que transforma una entrada en una salida. Los paréntesis indican la entrada: f(x) no significa f multiplicado por x.
Ejemplo: Si g(x) = x², entonces g(3) = 9.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
Datos y supuestos
- X=1 o X=7 unidades, cada uno con probabilidad 1/2.
- Y se expresa en unidades al cuadrado.
- La transformación es no lineal y convexa.
- Los momentos son finitos; no se intercambia esperanza y función sin justificación.
Calcula E[X²] − (E[X])².
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula E[X²] − (E[X])². Primero transformamos cada resultado y después ponderamos por su probabilidad original. Una operación no lineal, como elevar al cuadrado, no se puede aplicar simplemente a la media; se necesita calcular la esperanza de los valores transformados. Para este apartado: La diferencia es exactamente Var(X) para la función cuadrado.
Promediar sin transformar
E[X]=(1+7)/2=4.
Comparar los dos órdenes
25−4²=9>0.
Comprobar e interpretar
El resultado es 9 unidades al cuadrado. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Jensen predice esta desigualdad para funciones convexas; aquí es estricta porque X no es constante.
Jensen predice esta desigualdad para funciones convexas; aquí es estricta porque X no es constante.
Qué resumen conserva cada momento
El momento ordinario de orden uno es la esperanza; el de orden dos promedia cuadrados. Los momentos centrales usan desviaciones respecto a la media: el primero es cero y el segundo es la varianza. Para comparar formas sin unidades se pueden estandarizar momentos dividiendo por potencias de la desviación típica positiva.
Como ampliación de la definición general de momentos, el tercer momento estandarizado ayuda a describir asimetría y el cuarto, la importancia de las colas. No son sustitutos de una distribución completa ni existen necesariamente. Simetría no garantiza una media finita; valores extremos poco frecuentes pueden hacer divergir integrales que parecen razonables en una muestra pequeña.
Ampliación opcional
Cambiar la variable cambia su distribución
La transformación de distribuciones se introduce aquí como apoyo adicional para los ejercicios. Para una transformación creciente, se traduce el umbral mediante la función inversa. Si la transformación decrece, la desigualdad se invierte. Si no es monótona, un mismo valor transformado puede proceder de varias regiones, como sucede al elevar al cuadrado.
Para obtener una densidad transformada, el cambio de anchura requiere un factor jacobiano. No basta con sustituir el nombre de la variable en la densidad original. Aun sin derivar la densidad, la esperanza de la transformación puede calcularse con la regla de la lección anterior. Empieza siempre por determinar el nuevo soporte.
Fórmulas del apartado
Se lee: Para una regla creciente, la acumulada de i griega en y es la acumulada de equis en la entrada inversa. La densidad añade el valor absoluto de la derivada de esa inversa para conservar el área.
La primera igualdad supone g creciente; la segunda vale para un cambio diferenciable e invertible en el soporte.
Área a partir de una longitud normalizada
Sea X uniforme entre cero y uno y sea Y el cuadrado de X. Para un umbral y entre cero y uno, Y no supera y cuando X no supera su raíz. La acumulada de Y es , no . Su esperanza es la integral de x al cuadrado entre cero y uno, que vale un tercio; el cuadrado de la media de X vale un cuarto.
Ejemplo resuelto
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