Densidad continua y probabilidad por áreas
Apuntes, tema 2 · 2.7 a 2.7.2.1: densidad, acumulada e intervalos continuosAbrir el PDF en la página 9
Objetivos de la lección
- Normalizar una densidad y obtener su acumulada.
- Explicar por qué una densidad no es una probabilidad puntual.
Apartado 1 de 3
Un intervalo tiene anchura; un punto no
Transcripción
Hola.
Una reacción dura entre cero y medio minuto.
Modelamos su tiempo, te mayúscula, con densidad constante dos por minuto y cero fuera de ese tramo.
Vamos a comprobar por qué una altura dos es válida y cómo convertirla en probabilidad.
La probabilidad completa es el área del rectángulo: altura dos por anchura medio da uno.
La densidad es no negativa y su área total es uno, que son las condiciones necesarias.
La restricción de no superar uno afecta a probabilidades, no a estas alturas.
Entre una décima y tres décimas de minuto, restar los extremos da dos décimas de anchura.
Multiplicamos por la altura constante dos y obtenemos cuatro décimas.
La zona sombreada representa esa probabilidad de intervalo; no usamos la altura aislada como respuesta.
En cambio, un instante exacto tiene anchura cero y aporta área cero.
Las llaves en la fórmula contienen solo el instante te, no un intervalo.
Que cada punto tenga probabilidad cero no impide observar un tiempo concreto: no estamos sumando una lista numerable de masas puntuales.
La altura se mide en inversos de minuto y la anchura en minutos; su producto no tiene unidades, como debe ocurrir con una probabilidad.
Además, una lectura redondeada del instrumento representa un intervalo de resolución con anchura positiva, no la afirmación de un instante conocido con precisión infinita.
Una densidad de 2 no es una probabilidad de 2
X es uniforme entre 0 y 0,5. Su densidad tiene altura 2. ¿Qué probabilidad corresponde al intervalo entre 0,1 y 0,3?
Cargando actividades...
El intervalo tiene anchura 0,2 y altura 2: su área es 0,4. El soporte completo tiene área 0,5 por 2, que vale 1. Una densidad puede superar 1 porque es una altura, no una probabilidad puntual. Un punto aislado tiene anchura cero y, en este modelo, probabilidad cero.
Palabras y símbolos de esta lección
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- ∫ₐᵇ f(x) dx · Integral definida
Se lee: integral entre a y b de efe de x respecto de x.
Acumula pequeñas contribuciones entre los límites a y b. Con una función no negativa calcula el área. dx indica qué variable recorre el intervalo; no es un factor numérico que haya que adivinar.
Ejemplo: Una altura constante 0,5 durante 0,8 minutos aporta un área de 0,4.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
¿Por qué la altura de una curva no es una probabilidad?
Para una longitud que puede variar de forma continua usamos una densidad. La altura indica cómo se reparte la probabilidad por unidad de longitud. Para preguntar por un intervalo necesitamos su área. Como en un rectángulo, una altura grande puede dar un área pequeña si la anchura es pequeña.
Una densidad constante dos entre cero y 0,5 tiene área total 2 × 0,5 = 1. Es válida aunque la altura supere uno. Un punto aislado tiene anchura cero y área cero: en un modelo continuo P(X = x) vale cero, no la altura de la curva.
El punto no tiene anchura
En una variable absolutamente continua, las probabilidades se calculan integrando una densidad no negativa. Una densidad puede superar uno: lo que debe sumar uno es el área total. Su valor tiene unidades inversas a las de la variable. Un intervalo pequeño combina altura y anchura para producir una probabilidad sin unidades.
Un punto aislado tiene anchura cero y probabilidad cero, aunque la densidad allí sea positiva. No significa que observar un valor concreto sea imposible en el sentido cotidiano: cada realización será concreta. Significa que el modelo ideal de precisión infinita asigna probabilidad mediante intervalos. Un instrumento con redondeo o resolución finita devuelve categorías con probabilidades positivas.
Desarrollo escrito del ejemplo
X mide una longitud celular, en unidades calibradas, con densidad creciente f(x)=c x para 0 ≤ x ≤ b y cero fuera.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- ∫ₐᵇ f(x) dx · Integral definida
Se lee: integral entre a y b de efe de x respecto de x.
Acumula pequeñas contribuciones entre los límites a y b. Con una función no negativa calcula el área. dx indica qué variable recorre el intervalo; no es un factor numérico que haya que adivinar.
Ejemplo: Una altura constante 0,5 durante 0,8 minutos aporta un área de 0,4.
- G′(x), dG/dx · Derivada y primitiva
Se lee: ge prima de x; derivada de ge respecto de x.
La derivada mide el cambio local o pendiente. G es una primitiva de f si al derivar G obtenemos f.
Ejemplo: Si G(x) = x²/2, su derivada es x. Entre 0 y 2, la integral de x vale G(2) − G(0) = 2.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
Datos y supuestos
- b = 3; umbral t = 1,5.
- La densidad no es una probabilidad puntual.
- X es continua y su soporte es [0,b].
- La integral de la densidad sobre el soporte debe ser uno.
Calcula P(X = t), exactamente en el umbral.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X = t), exactamente en el umbral. La probabilidad continua es un área. Una integral suma altura por anchura y una primitiva permite evaluar esa acumulación entre dos límites. Normalizamos sobre todo el soporte antes de integrar la región solicitada. Para este apartado: Un único punto tiene longitud cero.
Distinguir altura y área
Aunque f(t) = 0,3333333, el intervalo [t,t] tiene área cero.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. P(X=t) no se obtiene sustituyendo t en la densidad.
P(X=t) no se obtiene sustituyendo t en la densidad.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Para la densidad 2x entre cero y uno, una primitiva es x². El área total es 1² − 0² = 1. Hasta 0,5 acumulamos 0,5² = 0,25. Por encima queda 1 − 0,25 = 0,75. La acumulada F guarda áreas hasta un umbral; f minúscula guarda alturas.
Antes de integrar comprobamos dónde existe el modelo y que la densidad no sea negativa. La acumulada vale cero antes del soporte y uno después. Si un aparato redondea, registrar 0,8 representa un pequeño intervalo de lecturas, no una medida ideal con infinitos decimales.
Fórmulas del apartado
Se lee: La densidad efe sub equis es no negativa y su integral total es uno. La probabilidad entre a y be es la integral de esa densidad entre los dos extremos.
La validez de la densidad se comprueba por su área total y sus probabilidades son áreas de regiones.
Fracción de una sustancia
Un modelo ficticio tiene densidad dos por x entre cero y uno, y cero fuera. Su integral total es uno; su acumulada dentro del soporte es x al cuadrado. La probabilidad de superar 0,5 es 1 menos 0,25, que vale 0,75. La densidad en 0,8 vale 1,6, pero la probabilidad de exactamente 0,8 es cero.
Desarrollo escrito del ejemplo
X mide una longitud celular, en unidades calibradas, con densidad creciente f(x)=c x para 0 ≤ x ≤ b y cero fuera.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- ∫ₐᵇ f(x) dx · Integral definida
Se lee: integral entre a y b de efe de x respecto de x.
Acumula pequeñas contribuciones entre los límites a y b. Con una función no negativa calcula el área. dx indica qué variable recorre el intervalo; no es un factor numérico que haya que adivinar.
Ejemplo: Una altura constante 0,5 durante 0,8 minutos aporta un área de 0,4.
- G′(x), dG/dx · Derivada y primitiva
Se lee: ge prima de x; derivada de ge respecto de x.
La derivada mide el cambio local o pendiente. G es una primitiva de f si al derivar G obtenemos f.
Ejemplo: Si G(x) = x²/2, su derivada es x. Entre 0 y 2, la integral de x vale G(2) − G(0) = 2.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
Datos y supuestos
- b = 3; umbral t = 1,5.
- La densidad no es una probabilidad puntual.
- X es continua y su soporte es [0,b].
- La integral de la densidad sobre el soporte debe ser uno.
Calcula c para que f sea una densidad.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula c para que f sea una densidad. La probabilidad continua es un área. Una integral suma altura por anchura y una primitiva permite evaluar esa acumulación entre dos límites. Normalizamos sobre todo el soporte antes de integrar la región solicitada. Para este apartado: Integra c x desde cero hasta b.
Área total igual a uno
La integral es c b²/2; por tanto c = 2/3² = 0,2222222.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,2222222 unidades de longitud a la potencia -2. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La altura de una densidad puede superar uno; el área total no.
La altura de una densidad puede superar uno; el área total no.
Calcula P(X ≤ t).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X ≤ t). La probabilidad continua es un área. Una integral suma altura por anchura y una primitiva permite evaluar esa acumulación entre dos límites. Normalizamos sobre todo el soporte antes de integrar la región solicitada. Para este apartado: La probabilidad es el área desde cero hasta t.
Integrar en el intervalo pedido
c t²/2 = 0,2222222 × 1,5²/2 = 0,25.
Comprobar el área
La primitiva de c por x es c por x al cuadrado dividido entre dos: su derivada vuelve a ser c por x. En cero vale cero; en 1,5 vale 0,25. Restamos el valor inicial y obtenemos 0,25, una probabilidad entre cero y uno.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,25 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Al ser continua, P(X < t) es la misma; P(X=t)=0.
Al ser continua, P(X < t) es la misma; P(X=t)=0.
Construir la acumulada por tramos
La acumulada empieza en cero antes del soporte, integra la densidad dentro y llega a uno después. Cambiar el valor de la densidad en un solo punto no cambia ninguna probabilidad. La relación entre derivada y densidad vale donde corresponde, o casi en todas partes; no exige que la curva sea suave en cada frontera.
Para comprobar una propuesta, revisa signo, soporte y área total antes de resolver un intervalo. Si hay una constante, normalízala primero. Luego calcula la probabilidad por integral o por diferencia de acumuladas y verifica que ambas formas concuerdan. En este caso incluir o excluir extremos puntuales no altera el área.
Fórmulas del apartado
Se lee: La probabilidad de un punto exacto es cero en este modelo. La acumulada efe mayúscula integra la densidad hasta x; te es la variable que recorre esa integral.
La acumulada integra densidad hasta un umbral; no suma una masa en ese umbral.
Ejemplo resuelto
Cargando ejercicios...