Probabilidad total, Bayes y pruebas diagnósticas
Apuntes, tema 1 · 1.7.1, 1.7.2 y 1.11: probabilidad total, Bayes y eficacia diagnósticaAbrir el PDF en la página 6
Objetivos de la lección
- Combinar grupos mediante una partición.
- Distinguir sensibilidad, especificidad y valores predictivos.
Apartado 1 de 3
Reunir los positivos de dos grupos
Transcripción
Hola.
Una prueba tiene sensibilidad ocho décimas, positivos entre infectadas, y especificidad nueve décimas, negativos entre no infectadas.
¿Qué dirá un positivo sobre la infección?
No podemos invertir esas frases directamente: primero reuniremos todas las rutas que pueden producir un positivo.
Imaginemos mil plantas: cien infectadas y novecientas sin infección, una prevalencia de una décima.
Los dos grupos forman una partición: son excluyentes y cubren toda la población.
La escala de mil facilita las cuentas; los resultados serán recuentos esperados del ejemplo, no observaciones garantizadas.
Dentro de las cien infectadas, la sensibilidad ocho décimas indica qué parte da positivo.
Multiplicamos ocho décimas por cien y esperamos ochenta positivos verdaderos.
Hemos seguido la ruta infectada y positivo; todavía no sabemos qué proporción representan dentro de todos los positivos.
Entre las no infectadas conocemos la probabilidad de negativo, nueve décimas.
Para obtener positivos tomamos el complemento dentro de ese mismo grupo: uno menos nueve décimas deja una décima.
No restamos la sensibilidad, porque esa pertenece a las infectadas y sería otra condición.
Aplicamos esa décima de falsos positivos a las novecientas no infectadas.
Una décima por novecientas da noventa positivos esperados.
Aunque el error relativo es menor que la sensibilidad, actúa sobre un grupo mucho más grande; por eso puede aportar más positivos que la ruta de infección.
Sumamos ochenta verdaderos y noventa falsos: ciento setenta positivos esperados de mil, una probabilidad total de diecisiete centésimas.
Las rutas se pueden sumar porque proceden de grupos excluyentes.
Cada tasa ya fue ponderada por el tamaño de su grupo; promediar las tasas sin esos pesos daría otra respuesta.
Un positivo no equivale a un diagnóstico
En una cohorte de 1000 individuos, el 1% tiene la enfermedad. La prueba detecta al 90% de los enfermos y clasifica correctamente al 95% de los sanos. ¿De qué grupo proceden los positivos?
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Se esperan 9 verdaderos positivos y 49,5 falsos positivos. Entre todos los positivos, la proporción de enfermos es 9 / (9 + 49,5), aproximadamente el 15,4%. Los recuentos son valores esperados, no personas fraccionadas. La probabilidad después del positivo depende también de la prevalencia.
Palabras y símbolos de esta lección
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- s, c, π, VPP, VPN · Letras de una prueba diagnóstica
Se lee: ese; ce; pi; valor predictivo positivo; valor predictivo negativo.
s es sensibilidad, c especificidad y π prevalencia. VPP pregunta por la condición entre positivos; VPN por su ausencia entre negativos. La c aquí no es la constante de normalización.
Ejemplo: Sensibilidad 0,80: de cada cien con la condición, se esperan ochenta positivos.
- ∑ᵢ aᵢ · Sumatorio
Se lee: suma de a sub i.
La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.
Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.
¿Un resultado positivo significa tener la condición?
Imaginemos mil plantas: cien infectadas y novecientas no infectadas. Una prueba detecta al 80 % de las infectadas: esperamos ochenta positivos verdaderos. Si da negativo al 90 % de las no infectadas, el 10 % restante produce noventa falsos positivos.
En total hay 80 + 90 = 170 positivos esperados. Entre los positivos, la proporción infectada es 80/170, aproximadamente 0,471. Esto no es la sensibilidad del 80 %: aquella empezaba entre las infectadas; ahora empezamos entre los positivos.
Sumar rutas y después invertir la pregunta
Una partición divide el espacio en grupos disjuntos que lo cubren por completo. La probabilidad total de una observación se obtiene sumando su probabilidad dentro de cada grupo, ponderada por el tamaño probabilístico de ese grupo. Es una media ponderada, no la media simple de las probabilidades condicionadas.
Bayes usa esa suma como denominador para invertir la dirección de la pregunta. La probabilidad previa describe el grupo antes de observar el resultado; la posterior describe el grupo después. La verosimilitud de la observación dentro del grupo no es por sí sola la probabilidad posterior de pertenecer al grupo.
Cribado ficticio de una infección vegetal
En 1.000 plantas imaginarias, 100 están infectadas. Con sensibilidad 0,80 se esperan 80 positivos infectados; con especificidad 0,90 se esperan 90 positivos entre las 900 no infectadas. Hay 170 positivos y su valor predictivo positivo es 80 entre 170, aproximadamente 0,471. Entre los 830 negativos, 810 no están infectados: el valor predictivo negativo es aproximadamente 0,976.
Desarrollo escrito del ejemplo
Se usa una prueba para detectar una infección en animales de una población de cribado.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- s, c, π, VPP, VPN · Letras de una prueba diagnóstica
Se lee: ese; ce; pi; valor predictivo positivo; valor predictivo negativo.
s es sensibilidad, c especificidad y π prevalencia. VPP pregunta por la condición entre positivos; VPN por su ausencia entre negativos. La c aquí no es la constante de normalización.
Ejemplo: Sensibilidad 0,80: de cada cien con la condición, se esperan ochenta positivos.
Datos y supuestos
- Prevalencia P(I) = 0,02.
- Sensibilidad P(+ | I) = 0,95.
- Tasa de falsos positivos P(+ | no I) = 0,05; especificidad = 0,95.
- Infección y no infección forman una partición.
- Las características de la prueba son aplicables a esta población; no se supone independencia entre prueba e infección.
¿Qué probabilidad tiene un resultado positivo P(+)?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿Qué probabilidad tiene un resultado positivo P(+)? Infección y ausencia de infección son grupos disjuntos y exhaustivos. Primero ponderamos las probabilidades de la prueba por el tamaño de cada grupo. Para invertir la pregunta, dividimos la ruta de interés entre todas las rutas compatibles con lo observado. Para este apartado: Pondera positivos verdaderos y falsos por el tamaño de cada grupo.
Separar los dos orígenes
Positivos verdaderos: 0,02 × 0,95 = 0,019. Falsos: 0,98 × 0,05 = 0,049.
Sumar probabilidades totales
0,019 + 0,049 = 0,068.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,068 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Un positivo no implica necesariamente infección.
Un positivo no implica necesariamente infección.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Sensibilidad pregunta por positivos dentro del grupo con la condición. Especificidad pregunta por negativos dentro del grupo sin ella. Prevalencia es la proporción con la condición antes de la prueba. El valor predictivo positivo pregunta por la condición dentro de todos los positivos.
Bayes organiza este cambio de pregunta: divide la probabilidad de infección y positivo entre la de todos los positivos. La probabilidad total suma las rutas de ambos grupos. Para el valor predictivo negativo repetimos el razonamiento entre negativos, con su propio denominador. Son cifras didácticas, no recomendaciones diagnósticas.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad de be: sumamos las rutas de cada grupo a sub i. Probabilidad de a sub jota dado be: la ruta de ese grupo hacia be dividida entre todas las rutas hacia be.
Los grupos A forman una partición y la observación B tiene probabilidad positiva.
Desarrollo escrito del ejemplo
Se usa una prueba para detectar una infección en animales de una población de cribado.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- s, c, π, VPP, VPN · Letras de una prueba diagnóstica
Se lee: ese; ce; pi; valor predictivo positivo; valor predictivo negativo.
s es sensibilidad, c especificidad y π prevalencia. VPP pregunta por la condición entre positivos; VPN por su ausencia entre negativos. La c aquí no es la constante de normalización.
Ejemplo: Sensibilidad 0,80: de cada cien con la condición, se esperan ochenta positivos.
Datos y supuestos
- Prevalencia P(I) = 0,02.
- Sensibilidad P(+ | I) = 0,95.
- Tasa de falsos positivos P(+ | no I) = 0,05; especificidad = 0,95.
- Infección y no infección forman una partición.
- Las características de la prueba son aplicables a esta población; no se supone independencia entre prueba e infección.
Tras un positivo, ¿cuál es P(I | +)?
Identificar la pregunta y justificar el método
Tras un positivo, ¿cuál es P(I | +)? Infección y ausencia de infección son grupos disjuntos y exhaustivos. Primero ponderamos las probabilidades de la prueba por el tamaño de cada grupo. Para invertir la pregunta, dividimos la ruta de interés entre todas las rutas compatibles con lo observado. Para este apartado: Divide la probabilidad conjunta de infección y positivo por todos los positivos.
Seleccionar los positivos verdaderos
El numerador es 0,019, no la sensibilidad sola.
Aplicar Bayes
0,019/0,068 = 0,2794118.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,2794118 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. La prevalencia modifica el valor predictivo positivo incluso con una prueba sensible.
La prevalencia modifica el valor predictivo positivo incluso con una prueba sensible.
Por qué importa la prevalencia
La sensibilidad es la probabilidad de un resultado positivo entre quienes tienen la condición. La especificidad es la probabilidad de un resultado negativo entre quienes no la tienen. El valor predictivo positivo pregunta por la condición entre los positivos; el negativo, por su ausencia entre los negativos.
Cuando la condición es rara, un grupo grande sin ella puede producir muchos falsos positivos aunque la especificidad sea alta. Cambiar la prevalencia cambia los valores predictivos aun manteniendo sensibilidad y especificidad. Las cifras de esta lección son didácticas: no sirven como consejo diagnóstico ni sustituyen una validación clínica.
Fórmulas del apartado
Se lee: Valor predictivo positivo: sensibilidad por prevalencia entre todos los positivos. Valor predictivo negativo: especificidad por proporción sin condición entre todos los negativos. Ese, ce y pi nombran sensibilidad, especificidad y prevalencia.
s es sensibilidad, c especificidad y pi prevalencia; cada denominador reúne todos los resultados del signo correspondiente.
Ejemplo resuelto
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