Varianza, desviación y cambios de escala
Apuntes, tema 2 · 2.12, 2.12.1 y 2.15.12: varianza y propiedadesAbrir el PDF en la página 13
Objetivos de la lección
- Calcular e interpretar una varianza.
- Transformar medias y dispersiones manteniendo las unidades.
Apartado 1 de 3
No dejar que las desviaciones se cancelen
Transcripción
Hola.
Saber que la media es uno no dice cuánto se separan las observaciones de ese centro.
Una variable que siempre vale uno no se dispersa; otra puede alternar por debajo y por encima.
Vamos a medir esa separación sin que los signos opuestos se cancelen.
Equis toma cero, uno y dos con masas un cuarto, una mitad y un cuarto; su media es uno.
Restamos esa media a cada valor y obtenemos menos uno, cero y uno.
El signo distingue el lado del centro, pero todavía no mide una dispersión que podamos promediar sin cancelaciones.
Elevamos las desviaciones al cuadrado: menos uno y uno pasan ambos a uno, mientras cero sigue en cero.
Así las separaciones a ambos lados contribuyen positivamente y las grandes reciben más peso.
Hemos transformado las distancias; sus probabilidades originales se conservan.
Ahora ponderamos: el primer cuadrado uno aparece con un cuarto de probabilidad, cero con una mitad y el último uno con otro cuarto.
Sus aportaciones suman una mitad.
No dividimos entre tres, porque los tres valores del soporte no son equiprobables.
Ese promedio de desviaciones cuadradas es la varianza.
Para volver a las unidades de equis tomamos su raíz no negativa y la llamamos sigma, desviación típica.
En este modelo sigma es raíz de una mitad; no elegimos una raíz negativa porque describimos tamaño, no dirección.
La desviación típica vale aproximadamente cero coma setecientos siete en las unidades originales; la varianza una mitad lleva unidades al cuadrado.
Media y dispersión resumen aspectos distintos, pero incluso conocer ambas no identifica una distribución si no hemos fijado antes una familia de modelos.
Palabras y símbolos de esta lección
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- √x · Raíz cuadrada
Se lee: raíz cuadrada de x.
Devuelve el número no negativo cuyo cuadrado es x. Se usa con x no negativo.
Ejemplo: La raíz de 9 es 3 porque 3 × 3 = 9.
- aX + bY · Combinación lineal
Se lee: a por equis más be por i griega.
Multiplica cada medida por un coeficiente y suma los resultados. Los coeficientes pueden ser negativos: X − Y usa a = 1 y b = −1.
Ejemplo: Una diferencia entre dos lecturas de la misma muestra es una combinación lineal.
¿Dos grupos con la misma media pueden ser distintos?
Los valores uno y tres tienen media dos cuando son equiprobables. Los valores cero y cuatro también, pero están más separados del centro. La varianza mide esa dispersión: restamos la media a cada valor, elevamos esas desviaciones al cuadrado y promediamos con las probabilidades.
Para cero y cuatro con igual probabilidad, las desviaciones respecto a dos son menos dos y dos. Sus cuadrados son cuatro y cuatro. La varianza vale cuatro; la desviación típica es su raíz, dos. Las desviaciones tienen signo, a diferencia de las distancias; promediar sus cuadrados evita que se cancelen.
Distancias al centro
La varianza es la esperanza de la distancia al centro elevada al cuadrado. Elevar al cuadrado impide que desviaciones positivas y negativas se cancelen. La desviación típica es su raíz y recupera las unidades de la variable. Dos modelos con la misma media pueden tener varianzas muy distintas.
La fórmula basada en el segundo momento simplifica cálculos, pero exige que los momentos relevantes sean finitos. Una varianza negativa indica un error matemático o numérico; no una dispersión inversa. Con números grandes y variación pequeña, restar dos cantidades cercanas puede perder precisión, por lo que un cálculo centrado es a menudo más estable.
Para la suma de dados X (Tema 2, 2.15.12, páginas 23 y 24), se reutilizan las probabilidades, pero se elevan al cuadrado los valores: E[X2]=[22·1+32·2+42·3+52·4+62·5+72·6+82·5+92·4+102·3+112·2+122·1]/36=1974/36=329/6. Con E[X]=7 resulta Var(X)=329/6−72=35/6, aproximadamente 5,8333 puntos cuadrados. La desviación es √(35/6), aproximadamente 2,4152 puntos.
Para un solo dado D, E[D2]=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6 y Var(D)=91/6−(7/2)2=35/12. Como los dos dados son independientes, sus covarianzas son cero y la suma tiene varianza 35/12+35/12=35/6. En general basta covarianza cero para esa suma de varianzas: independencia es una condición suficiente, no necesaria. Para el mínimo, sus masas dan E[M2]=(1·11+4·9+9·7+16·5+25·3+36·1)/36=301/36 y Var(M)=301/36−(91/36)2=2555/1296. Ambos resúmenes describen la variable elegida, no el espacio de pares sin especificar qué medimos.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Si los valores se miden en milímetros, la varianza se expresa en milímetros cuadrados y la desviación en milímetros. Sumar cinco a todos los valores mueve el centro, pero no cambia las distancias. Multiplicar todos por tres triplica las distancias y multiplica la varianza por nueve.
Una forma abreviada calcula primero la media de los cuadrados y después resta el cuadrado de la media. Hay que respetar ese orden: E[X²] no es E[X]². Para sumar medidas que varían juntas hará falta una corrección llamada covarianza, que se desarrolla en el tema de dos variables.
Distancias al centro
La varianza es la esperanza de la distancia al centro elevada al cuadrado. Elevar al cuadrado impide que desviaciones positivas y negativas se cancelen. La desviación típica es su raíz y recupera las unidades de la variable. Dos modelos con la misma media pueden tener varianzas muy distintas.
La fórmula basada en el segundo momento simplifica cálculos, pero exige que los momentos relevantes sean finitos. Una varianza negativa indica un error matemático o numérico; no una dispersión inversa. Con números grandes y variación pequeña, restar dos cantidades cercanas puede perder precisión, por lo que un cálculo centrado es a menudo más estable.
Para la suma de dados X (Tema 2, 2.15.12, páginas 23 y 24), se reutilizan las probabilidades, pero se elevan al cuadrado los valores: E[X2]=[22·1+32·2+42·3+52·4+62·5+72·6+82·5+92·4+102·3+112·2+122·1]/36=1974/36=329/6. Con E[X]=7 resulta Var(X)=329/6−72=35/6, aproximadamente 5,8333 puntos cuadrados. La desviación es √(35/6), aproximadamente 2,4152 puntos.
Para un solo dado D, E[D2]=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6 y Var(D)=91/6−(7/2)2=35/12. Como los dos dados son independientes, sus covarianzas son cero y la suma tiene varianza 35/12+35/12=35/6. En general basta covarianza cero para esa suma de varianzas: independencia es una condición suficiente, no necesaria. Para el mínimo, sus masas dan E[M2]=(1·11+4·9+9·7+16·5+25·3+36·1)/36=301/36 y Var(M)=301/36−(91/36)2=2555/1296. Ambos resúmenes describen la variable elegida, no el espacio de pares sin especificar qué medimos.
Fórmulas del apartado
Se lee: Varianza de equis: esperanza de las desviaciones respecto a su media elevadas al cuadrado. Equivale a esperanza de equis al cuadrado menos el cuadrado de su esperanza. Sigma es la raíz de esa varianza.
La varianza usa unidades al cuadrado y la desviación típica usa las unidades originales.
Desarrollo escrito del ejemplo
X es el número de colonias resistentes en una microplaca que solo puede producir 0, 1 o 2 colonias.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- p_X(x) · Masa de probabilidad
Se lee: pe sub equis de x.
Es la probabilidad de un valor exacto de una variable discreta, que toma valores separados.
Ejemplo: Si P(X = 2) = 0,3, la masa en dos brotes es 0,3.
- c, wᵢ · Constante y peso
Se lee: ce; uve doble sub i.
Un peso expresa una importancia relativa. La constante c multiplica todos los pesos por el mismo factor para que el total sea uno. El subíndice i identifica un peso.
Ejemplo: Pesos 2, 3 y 5: c = 1/10 y proporciones 0,2, 0,3 y 0,5.
- ∑ᵢ aᵢ · Sumatorio
Se lee: suma de a sub i.
La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.
Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
Datos y supuestos
- P(X=0)=c, P(X=1)=3c, P(X=2)=6c.
- Fuera de {0,1,2} la probabilidad es cero.
- Los tres resultados son excluyentes y cubren todos los casos.
- Los pesos son no negativos.
Calcula la constante c.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula la constante c. Un peso expresa importancia relativa, no una probabilidad todavía. Sumamos los pesos y dividimos cada uno por ese total para obtener probabilidades que suman uno. Una masa es la probabilidad de un valor exacto. Para este apartado: La suma de todas las masas debe ser uno.
Normalizar la masa
(1 + 3 + 6)c = 1; c = 1/10 = 0,1.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,1 constante de normalización. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Cada masa queda entre cero y uno.
Cada masa queda entre cero y uno.
Calcula E[X].
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula E[X]. Un peso expresa importancia relativa, no una probabilidad todavía. Sumamos los pesos y dividimos cada uno por ese total para obtener probabilidades que suman uno. Una masa es la probabilidad de un valor exacto. Para este apartado: Pondera cada valor por su probabilidad, no por su peso sin normalizar.
Promediar con los pesos normalizados
(0 × 1 + 1 × 3 + 2 × 6)/10 = 1,5.
Comprobar e interpretar
El resultado es 1,5 número de colonias. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La esperanza puede no ser entera aunque cada observación sí lo sea.
La esperanza puede no ser entera aunque cada observación sí lo sea.
Calcula Var(X).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula Var(X). Un peso expresa importancia relativa, no una probabilidad todavía. Sumamos los pesos y dividimos cada uno por ese total para obtener probabilidades que suman uno. Una masa es la probabilidad de un valor exacto. Para este apartado: Primero calcula E[X²] y después resta (E[X])².
Segundo momento
(0² × 1 + 1² × 3 + 2² × 6)/10 = 2,7.
Restar el cuadrado de la media
2,7 - (1,5)² = 0,45.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,45 colonias al cuadrado. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La varianza mide dispersión y tiene unidades al cuadrado.
La varianza mide dispersión y tiene unidades al cuadrado.
Desplazar y estirar
Añadir una constante mueve todos los valores y la media por igual; las distancias al centro permanecen. Multiplicar por una constante multiplica esas distancias y la varianza por el cuadrado del factor. Un factor negativo invierte el eje, pero no crea una varianza negativa.
La varianza de una suma no siempre es la suma de varianzas. La variación compartida introduce una covarianza. Cuando hay independencia y varianzas finitas, ese término desaparece. No trasladamos esta regla a mediciones que comparten individuo o cultivo sin comprobar cómo están relacionadas.
Fórmulas del apartado
Se lee: La media de a por equis más be se transforma igual. Su varianza es a al cuadrado por la varianza original; sumar be no añade dispersión.
Un desplazamiento cambia el centro; un escalado cambia también la dispersión.
Convertir una longitud
La longitud de una estructura tiene media 2 milímetros y desviación típica 0,3 milímetros. En micrómetros la media es 2.000 y la desviación típica 300. La varianza pasa de 0,09 milímetros cuadrados a 90.000 micrómetros cuadrados: se multiplica por un millón, no por mil.