Regiones del plano y matrices
Repaso previo: no corresponde a un apartado de los apuntes.
Objetivos de la lección
- Elegir límites de integración según una región.
- Leer un vector y una matriz como una organización de medidas.
Apartado 1 de 3
Un reparto es un punto del plano
Transcripción
Hola.
Repartamos una unidad de recurso entre dos cultivos: equis mide lo asignado al primero e i griega al segundo.
¿Sería posible entregar ocho décimas a cada uno?
El triángulo reúne cantidades no negativas cuya suma no supera uno.
Su frontera inclinada representa agotar el recurso; por debajo todavía queda parte sin asignar.
Ocho décimas más ocho décimas excede la unidad, así que esa pareja queda fuera.
Que cada coordenada por separado esté entre cero y uno no garantiza que la pareja sea posible.
Si el primer cultivo recibe tres décimas, uno menos tres décimas deja siete décimas disponibles.
Esa resta traduce la restricción de recurso en un límite para la segunda coordenada.
El corte en equis tres décimas permite desde cero hasta siete décimas para i griega.
Recorre todas las asignaciones compatibles con esa primera elección, no todo el lado del cuadrado.
Al aumentar equis se acorta el corte: el límite de i griega depende de equis.
Cuando integremos, esa dependencia aparecerá en los límites interiores; usar un rectángulo incluiría repartos imposibles.
Palabras y símbolos de esta lección
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
- ∫∫_R g(x,y) dy dx · Integral doble
Se lee: integral doble sobre la región erre, primero respecto de i griega y después de equis.
Suma sobre una región de dos coordenadas. El orden escrito dy dx pide recorrer y para cada x y después recorrer x.
Ejemplo: Si x + y ≤ 1 y ambas son no negativas, para x = 0,3 queda 0 ≤ y ≤ 0,7.
- μ⃗, Σ, Σᵢⱼ, aᵀ · Vectores y matrices
Se lee: vector mu; sigma mayúscula; sigma sub i jota; a transpuesta.
Un vector es una lista ordenada; una matriz, una tabla. i identifica la fila y j la columna. Transponer convierte una columna en fila o intercambia filas y columnas.
Ejemplo: En una matriz de covarianzas, las posiciones (1,1) y (2,2) son varianzas.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
- Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación
Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.
La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.
Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.
¿Qué repartos de un recurso son posibles?
Tenemos una unidad de nutriente para dos cultivos. Llamamos x a la parte del primero e y a la del segundo. Ambas cantidades son no negativas y juntas no pueden superar uno. Un punto (x,y) representa un reparto completo: por ejemplo, (0,3; 0,4) es posible y deja 0,3 sin repartir.
Si fijamos x en 0,3, a y le queda como máximo 1 − 0,3 = 0,7. En el dibujo, los repartos permitidos forman un triángulo. No es todo el cuadrado entre cero y uno: el punto (0,8; 0,8) pediría más recurso del disponible.
Dos medidas necesitan dos coordenadas
Un punto del plano puede representar dos concentraciones medidas en una misma muestra. Una desigualdad relaciona ambas coordenadas y delimita una región, no solo dos intervalos separados. Para integrar, fija primero una coordenada y observa qué valores de la otra siguen dentro de esa región. Ese corte determina los límites interiores.
Si una región es triangular, la longitud del corte cambia al mover la coordenada fijada. Integrar sobre el rectángulo que la contiene añadiría puntos imposibles. Dibujar las fronteras y probar un punto interior es una manera económica de comprobar los límites antes de hacer cuentas.
Desarrollo escrito del ejemplo
Se reparten miligramos de nutriente entre dos cultivos. x es la cantidad del primero e y la del segundo. Se permite dejar nutriente sin repartir.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
- μ⃗, Σ, Σᵢⱼ, aᵀ · Vectores y matrices
Se lee: vector mu; sigma mayúscula; sigma sub i jota; a transpuesta.
Un vector es una lista ordenada; una matriz, una tabla. i identifica la fila y j la columna. Transponer convierte una columna en fila o intercambia filas y columnas.
Ejemplo: En una matriz de covarianzas, las posiciones (1,1) y (2,2) son varianzas.
Datos y supuestos
- Capacidad total: 4 mg; x ≥ 0, y ≥ 0 y x + y ≤ 4.
- Se fija x = 2 mg. Los ejes del dibujo representan miligramos.
- No se pueden asignar cantidades negativas.
- El límite es compartido: no se dispone de una capacidad completa para cada cultivo.
Con x fijado, ¿cuál es el máximo permitido de y?
Identificar la pregunta y justificar el método
Con x fijado, ¿cuál es el máximo permitido de y? Las coordenadas describen un punto mediante dos números. Fijar la primera cantidad deja un máximo para la segunda. La frontera del triángulo expresa la capacidad total disponible. Para este apartado: Resta lo que recibe el primer cultivo a la capacidad total.
Usar la capacidad compartida
2 + y ≤ 4.
Restar en ambos lados
y ≤ 4 − 2 = 2. El segundo cultivo puede recibir entre cero y 2 mg.
Comprobar e interpretar
El resultado es 2 miligramos. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. El máximo de y cambia al cambiar x.
El máximo de y cambia al cambiar x.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Para recorrer el triángulo fijamos x, dejamos que y vaya desde cero hasta uno menos x y repetimos para los x entre cero y uno. Es el orden de la integral doble: primero recorremos el corte de y y luego movemos x. El área es base por altura dividido entre dos: 1 × 1/2 = 0,5.
Un vector es una lista ordenada de medidas. Una matriz es una tabla con filas y columnas. Por ejemplo, una tabla de dos biomarcadores debe conservar siempre su orden. Más adelante, la matriz de covarianzas usará la diagonal para la dispersión de cada medida y las otras entradas para su variación compartida; aquí no hace falta calcular esas cantidades.
Fórmulas del apartado
Se lee: Para cada equis entre cero y uno, integramos ge de equis e i griega desde i griega igual a cero hasta uno menos equis. Después recorremos equis entre cero y uno.
Se recorre el triángulo con coordenadas positivas cuya suma es menor que uno.
Repartir una capacidad limitada
Dos fracciones de un recurso son positivas y juntas no superan uno. Cuando la primera vale 0,3, la segunda puede ir de cero a 0,7. El área del triángulo completo es 1/2. Una densidad constante sobre él tendría que valer 2 para que su integral fuese uno; la altura por sí sola no es una probabilidad.
Desarrollo escrito del ejemplo
Se reparten miligramos de nutriente entre dos cultivos. x es la cantidad del primero e y la del segundo. Se permite dejar nutriente sin repartir.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
- μ⃗, Σ, Σᵢⱼ, aᵀ · Vectores y matrices
Se lee: vector mu; sigma mayúscula; sigma sub i jota; a transpuesta.
Un vector es una lista ordenada; una matriz, una tabla. i identifica la fila y j la columna. Transponer convierte una columna en fila o intercambia filas y columnas.
Ejemplo: En una matriz de covarianzas, las posiciones (1,1) y (2,2) son varianzas.
Datos y supuestos
- Capacidad total: 4 mg; x ≥ 0, y ≥ 0 y x + y ≤ 4.
- Se fija x = 2 mg. Los ejes del dibujo representan miligramos.
- No se pueden asignar cantidades negativas.
- El límite es compartido: no se dispone de una capacidad completa para cada cultivo.
¿Qué área tiene la región triangular de todos los repartos permitidos?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿Qué área tiene la región triangular de todos los repartos permitidos? Las coordenadas describen un punto mediante dos números. Fijar la primera cantidad deja un máximo para la segunda. La frontera del triángulo expresa la capacidad total disponible. Para este apartado: Un triángulo rectángulo tiene la mitad del área de su rectángulo.
Identificar base y altura
Sobre cada eje se puede llegar a 4 mg. El rectángulo exterior tiene área 4 × 4 = 16.
Tomar la mitad
Área del triángulo: 16/2 = 8. Aún no hemos asignado probabilidades a esa región.
Comprobar e interpretar
El resultado es 8 miligramos al cuadrado. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Una región y su área se pueden entender antes de introducir una densidad.
Una región y su área se pueden entender antes de introducir una densidad.
Ordenar varias cantidades
Un vector reúne cantidades en un orden acordado: por ejemplo, dos medias correspondientes a dos biomarcadores. Una matriz organiza relaciones por filas y columnas. La entrada de la fila primera y columna segunda describe la relación del primer componente con el segundo; cambiar el orden de los componentes requiere cambiar también filas y columnas.
El producto de matrices combina filas con columnas mediante sumas de productos. No hace falta dominar toda el álgebra lineal para interpretar una matriz de covarianzas: la diagonal contiene varianzas y las entradas externas describen variación compartida. Las unidades de cada entrada dependen de las variables asociadas, de modo que no se deben comparar todas como si fueran magnitudes homogéneas.
Fórmulas del apartado
Se lee: Vector mu: lista de dos medias. Sigma mayúscula: tabla con las dos varianzas en la diagonal y la covarianza ce en las otras dos posiciones. Es una organización de medidas, no una tabla de probabilidades.
Un vector ordena medias y una matriz simétrica ordena varianzas y covarianzas.
Ejemplo resuelto
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