Despejar parámetros sin cambiar el problema

Repaso previo: no corresponde a un apartado de los apuntes.

Lección

Objetivos de la lección

• Despejar una constante de normalización.
• Leer potencias, raíces y logaritmos como operaciones inversas.

Apartado 1 de 3

Encontrar el factor que completa el total

Transcripción

Hola.

Tenemos tres estados con pesos dos, tres y cinco: el último pesa más, pero estos números aún no son probabilidades.

¿Cómo conservar sus proporciones y conseguir un total uno?

Dos más tres más cinco suman diez; ese es el peso que debemos convertir en una unidad de probabilidad.

Sumarlos primero nos permite aplicar después un mismo factor a todos.

Si ce multiplica cada peso, también multiplica su suma: diez por ce tiene que ser uno.

Ce es lo desconocido; diez es un dato y uno la condición del modelo.

Para dejar ce sola dividimos ambos lados por diez y queda una décima.

No quitamos el diez solo de un lado: una igualdad se conserva haciendo la misma operación en ambos.

Podemos dividir porque diez no es cero, y el factor sale positivo.

Si todos los pesos sumasen cero, no habría un reparto que convertir en total uno con esta receta.

Recuerda qué estamos invirtiendo: la suma completa de los pesos.

Sumar sus inversos daría otro problema y no conservaría el reparto; este cuidado con el denominador volverá a aparecer en Bayes.

Palabras y símbolos de esta lección

=, ⇒, ⇔ · Igualdad e implicación

Se lee: es igual a; implica; equivale a.

Igual indica el mismo valor. Implica anuncia una consecuencia. Equivale indica que la relación funciona en ambos sentidos.

Ejemplo: Si 10c = 1, entonces c = 1/10.

a/b · Fracción

Se lee: a dividido entre b.

El número de arriba es el numerador; el de abajo, el denominador. El denominador no puede ser cero.

Ejemplo: 12/60 = 0,20: doce de sesenta muestras.

c, wᵢ · Constante y peso

Se lee: ce; uve doble sub i.

Un peso expresa una importancia relativa. La constante c multiplica todos los pesos por el mismo factor para que el total sea uno. El subíndice i identifica un peso.

Ejemplo: Pesos 2, 3 y 5: c = 1/10 y proporciones 0,2, 0,3 y 0,5.

x², x³ · Potencia

Se lee: x al cuadrado; x al cubo.

El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.

Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.

√x · Raíz cuadrada

Se lee: raíz cuadrada de x.

Devuelve el número no negativo cuyo cuadrado es x. Se usa con x no negativo.

Ejemplo: La raíz de 9 es 3 porque 3 × 3 = 9.

eˣ, exp(x) · Exponencial natural

Se lee: e elevado a x; exponencial de x.

Son dos escrituras de la misma función. La base e vale aproximadamente 2,71828. Una calculadora científica permite evaluarla.

Ejemplo: e⁰ = 1; exp(−1) es aproximadamente 0,3679.

log(x), ln(x) · Logaritmo natural

Se lee: logaritmo natural de x.

Pregunta a qué exponente hay que elevar e para obtener x. En este curso log y ln significan lo mismo; x debe ser positivo.

Ejemplo: log(1) = 0 porque e⁰ = 1. No es el logaritmo en base diez.

α · Escala temporal

Se lee: alfa.

En las lecciones de tiempos, una escala positiva estira o encoge la duración. En la exponencial coincide con el tiempo medio; su inversa es la tasa.

Ejemplo: Escala 5 minutos: tasa exponencial 1/5 = 0,2 por minuto.

¿Cómo repartimos un total sin cambiar las proporciones?

Tres estados de un cultivo tienen pesos 2, 3 y 5. Peso significa importancia relativa: el tercer estado pesa más que el primero, pero esos números todavía no son probabilidades. Buscamos un mismo factor c que transforme los tres pesos en proporciones con total uno.

Primero sumamos: 2 + 3 + 5 = 10. La igualdad que queremos cumplir es 10 × c = 1. Para dejar sola c, dividimos los dos lados entre diez: c = 1/10 = 0,1. Eso es despejar. No trasladamos símbolos por magia: hacemos lo mismo a ambos lados.

Una igualdad es un equilibrio

Despejar no consiste en trasladar símbolos de un lado a otro con reglas misteriosas. Consiste en aplicar la misma operación a ambos miembros. Si una suma de probabilidades es una constante multiplicada por tres pesos, puedes sumar primero los pesos y dividir después ambos miembros por ese total. La constante ajusta la escala; no cambia las proporciones entre pesos.

Los paréntesis indican qué parte actúa como un bloque. El inverso de una suma no es la suma de los inversos. Escribir el denominador completo antes de sustituir números ayuda especialmente en Bayes, donde el denominador reúne varias rutas posibles hacia una observación.

Fórmulas del apartado

Se lee: Ce por la suma de dos, tres y cinco es uno. Como esa suma vale diez, ce es uno dividido entre diez.

$$c(2+3+5)=1\quad\Longrightarrow\quad c=\frac{1}{10}$$

La misma constante multiplica los tres pesos. Dividimos ambos lados por su suma, diez.

Tres estados de un cultivo

Un modelo asigna pesos 2, 3 y 5 a tres estados. La suma es 10, así que la constante es 0,1 y las masas son 0,2, 0,3 y 0,5. Comprueba que suman uno. Si una supervivencia exponencial vale 0,5 y la escala es 6 horas, el tiempo correspondiente es 6 por el logaritmo natural de 2, aproximadamente 4,16 horas.

Desarrollo escrito del ejemplo

Tres estados de una muestra tienen pesos relativos. Multiplicamos cada peso por la misma constante c para que el total sea uno.

c, wᵢ · Constante y peso

Se lee: ce; uve doble sub i.

Un peso expresa una importancia relativa. La constante c multiplica todos los pesos por el mismo factor para que el total sea uno. El subíndice i identifica un peso.

Ejemplo: Pesos 2, 3 y 5: c = 1/10 y proporciones 0,2, 0,3 y 0,5.

a/b · Fracción

Se lee: a dividido entre b.

El número de arriba es el numerador; el de abajo, el denominador. El denominador no puede ser cero.

Ejemplo: 12/60 = 0,20: doce de sesenta muestras.

=, ⇒, ⇔ · Igualdad e implicación

Se lee: es igual a; implica; equivale a.

Igual indica el mismo valor. Implica anuncia una consecuencia. Equivale indica que la relación funciona en ambos sentidos.

Ejemplo: Si 10c = 1, entonces c = 1/10.

Datos y supuestos

• Pesos: 2, 3, 4.
• La igualdad es (2 + 3 + 4) × c = 1.
• Los pesos son positivos y no son aún proporciones.
• La misma constante multiplica todos los pesos.

¿Cuánto debe valer c?

Identificar la pregunta y justificar el método

¿Cuánto debe valer c? La igualdad funciona como una balanza: hacemos la misma operación en ambos lados. Primero sumamos los pesos y después dividimos ambos lados por esa suma para dejar sola la constante. Para este apartado: Suma los pesos y divide ambos lados por ese total.

Sumar primero

2 + 3 + 4 = 9, por lo que 9 × c = 1.

Hacer lo mismo en ambos lados

Dividimos ambos lados entre 9: c = 1/9 = 0,1111111. Si multiplicas por 9, recuperas uno.

Comprobar e interpretar

El resultado es 0,1111111 constante. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Despejar significa dejar sola la cantidad buscada sin alterar la igualdad.

Despejar significa dejar sola la cantidad buscada sin alterar la igualdad.

Ejemplo resuelto

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