Derivadas, integrales y área acumulada
Repaso previo: no corresponde a un apartado de los apuntes.
Objetivos de la lección
- Interpretar una integral como acumulación.
- Relacionar una pendiente con una densidad sin confundirla con una probabilidad.
Apartado 1 de 3
Acumular áreas de pequeñas franjas
Transcripción
Hola.
Esta densidad vale medio por minuto entre cero y dos minutos: su área total es uno.
Busquemos la probabilidad entre cero coma cuatro y uno coma dos mirando el área, no una altura.
Primero restamos uno coma dos menos cero coma cuatro y obtenemos cero coma ocho minutos de anchura.
Restar límites mide el tramo solicitado, no la probabilidad todavía.
Ahora multiplicamos altura medio por anchura cero coma ocho y sale cero coma cuatro.
Podemos usar un rectángulo porque la densidad es constante en todo el intervalo.
La franja sombreada ocupa cuatro décimas del área total: esa es la probabilidad buscada.
Minutos por inverso de minutos se cancelan, de modo que el resultado no lleva unidades.
Si la curva cambia de altura, un único rectángulo ya no basta.
La integral reúne las áreas de franjas cada vez más estrechas; el diferencial de te señala qué variable recorre esas franjas.
Y si la fórmula cambia de tramo, partimos el intervalo en esa frontera y sumamos las áreas.
Cada integrando solo vale donde lo define el modelo: integrar no elimina las condiciones de soporte.
Palabras y símbolos de esta lección
- f(x), g(x) · Función
Se lee: efe de x; ge de x.
Una función es una regla que transforma una entrada en una salida. Los paréntesis indican la entrada: f(x) no significa f multiplicado por x.
Ejemplo: Si g(x) = x², entonces g(3) = 9.
- ∫ₐᵇ f(x) dx · Integral definida
Se lee: integral entre a y b de efe de x respecto de x.
Acumula pequeñas contribuciones entre los límites a y b. Con una función no negativa calcula el área. dx indica qué variable recorre el intervalo; no es un factor numérico que haya que adivinar.
Ejemplo: Una altura constante 0,5 durante 0,8 minutos aporta un área de 0,4.
- G′(x), dG/dx · Derivada y primitiva
Se lee: ge prima de x; derivada de ge respecto de x.
La derivada mide el cambio local o pendiente. G es una primitiva de f si al derivar G obtenemos f.
Ejemplo: Si G(x) = x²/2, su derivada es x. Entre 0 y 2, la integral de x vale G(2) − G(0) = 2.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
- Soporte, ℝ, ℕ, ∞ · Valores permitidos
Se lee: soporte; números reales; números naturales; infinito.
El soporte delimita dónde puede estar la variable. ℝ incluye números negativos, positivos y decimales. Aquí siempre se indica si los enteros empiezan en cero o en uno. Infinito no es un número que se sustituya.
Ejemplo: Un recuento puede valer 0, 1, 2…; un tiempo no puede ser negativo.
¿Cómo puede una curva describir la probabilidad de un tiempo?
Imagina un tiempo de reacción entre cero y dos minutos. Una densidad constante de 0,5 por minuto reparte la probabilidad uniformemente en ese intervalo. Densidad significa probabilidad por unidad de tiempo; la probabilidad de un intervalo se obtiene con su área, altura por anchura.
Entre 0,4 y 1,2 minutos hay una anchura de 1,2 − 0,4 = 0,8 minutos. Multiplicamos 0,5 × 0,8 = 0,4: el 40 % de los tiempos cae ahí según el modelo. En todo el intervalo, 0,5 × 2 = 1. La altura no es la probabilidad de un instante.
De pequeñas franjas a un área
Una integral definida suma contribuciones cada vez más finas a lo largo de un intervalo. Si la altura representa densidad y la anchura representa una pequeña cantidad de tiempo, su producto aproxima la probabilidad en esa franja. La integral reúne todas las franjas. El símbolo del diferencial indica respecto a qué variable se acumula.
Para calcular a mano, buscamos una primitiva, una función cuya derivada devuelve el integrando, y restamos su valor en el límite inferior al del superior. Esto funciona por el teorema fundamental del cálculo bajo sus condiciones habituales. Antes del cálculo, revisa si la función cambia de tramo dentro del intervalo: en tal caso hay que separar las integrales.
Duración ficticia de una reacción
Supón una densidad constante de 0,5 por minuto entre 0 y 2 minutos. El área total es 0,5 por 2, que vale uno. La probabilidad de una duración entre 0,4 y 1,2 minutos es 0,5 por 0,8, que vale 0,4. La densidad tiene unidades inversas de tiempo; el área no tiene unidades.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Cuando la altura cambia, dividimos el intervalo en franjas, calculamos altura por anchura y sumamos. Una integral hace esa acumulación con franjas cada vez más finas. Para calcular a mano buscamos una primitiva: una función G cuya derivada devuelve la función que estamos acumulando.
Por ejemplo, una primitiva de x es x²/2. Entre cero y dos, su integral vale 2²/2 − 0²/2 = 2. La derivada es la pendiente o cambio local. Si F acumula probabilidad, su pendiente describe la densidad donde exista esa derivada. No hace falta confundir esas dos funciones: una acumula áreas y la otra describe alturas.
Fórmulas del apartado
Se lee: Integral de efe de x entre a y be respecto de x: ge de be menos ge de a. Ge prima es efe: derivar la primitiva recupera la función inicial.
La primitiva G permite calcular el área acumulada entre a y b.
Desarrollo escrito del ejemplo
X mide una longitud celular, en unidades calibradas, con densidad creciente f(x)=c x para 0 ≤ x ≤ b y cero fuera.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- ∫ₐᵇ f(x) dx · Integral definida
Se lee: integral entre a y b de efe de x respecto de x.
Acumula pequeñas contribuciones entre los límites a y b. Con una función no negativa calcula el área. dx indica qué variable recorre el intervalo; no es un factor numérico que haya que adivinar.
Ejemplo: Una altura constante 0,5 durante 0,8 minutos aporta un área de 0,4.
- G′(x), dG/dx · Derivada y primitiva
Se lee: ge prima de x; derivada de ge respecto de x.
La derivada mide el cambio local o pendiente. G es una primitiva de f si al derivar G obtenemos f.
Ejemplo: Si G(x) = x²/2, su derivada es x. Entre 0 y 2, la integral de x vale G(2) − G(0) = 2.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
Datos y supuestos
- b = 3; umbral t = 1,5.
- La densidad no es una probabilidad puntual.
- X es continua y su soporte es [0,b].
- La integral de la densidad sobre el soporte debe ser uno.
Calcula c para que f sea una densidad.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula c para que f sea una densidad. La probabilidad continua es un área. Una integral suma altura por anchura y una primitiva permite evaluar esa acumulación entre dos límites. Normalizamos sobre todo el soporte antes de integrar la región solicitada. Para este apartado: Integra c x desde cero hasta b.
Área total igual a uno
La integral es c b²/2; por tanto c = 2/3² = 0,2222222.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,2222222 unidades de longitud a la potencia -2. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La altura de una densidad puede superar uno; el área total no.
La altura de una densidad puede superar uno; el área total no.
Calcula P(X ≤ t).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X ≤ t). La probabilidad continua es un área. Una integral suma altura por anchura y una primitiva permite evaluar esa acumulación entre dos límites. Normalizamos sobre todo el soporte antes de integrar la región solicitada. Para este apartado: La probabilidad es el área desde cero hasta t.
Integrar en el intervalo pedido
c t²/2 = 0,2222222 × 1,5²/2 = 0,25.
Comprobar el área
La primitiva de c por x es c por x al cuadrado dividido entre dos: su derivada vuelve a ser c por x. En cero vale cero; en 1,5 vale 0,25. Restamos el valor inicial y obtenemos 0,25, una probabilidad entre cero y uno.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,25 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Al ser continua, P(X < t) es la misma; P(X=t)=0.
Al ser continua, P(X < t) es la misma; P(X=t)=0.
La pendiente de lo acumulado
La derivada mide una variación local. Cuando una función de distribución es derivable, su pendiente expresa cuánta probabilidad se concentra por unidad de la variable. Una pendiente grande en una zona estrecha puede producir un área pequeña; por eso altura y probabilidad no son sinónimos.
El cálculo también sirve para comprobar modelos. Una densidad no negativa debe tener área total uno, y una distribución acumulada no puede descender. Si aparece un área negativa o una acumulada mayor que uno, no es una interpretación biológica sorprendente: hay un error de límites, signo o normalización.
Fórmulas del apartado
Se lee: Efe mayúscula de x acumula la densidad desde menos infinito hasta x. Te es solo la variable que recorre la integral. La derivada de la acumulada es la densidad donde exista.
La densidad es la pendiente de la acumulada, no la probabilidad de un punto.
Desarrollo escrito del ejemplo
X mide una longitud celular, en unidades calibradas, con densidad creciente f(x)=c x para 0 ≤ x ≤ b y cero fuera.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- ∫ₐᵇ f(x) dx · Integral definida
Se lee: integral entre a y b de efe de x respecto de x.
Acumula pequeñas contribuciones entre los límites a y b. Con una función no negativa calcula el área. dx indica qué variable recorre el intervalo; no es un factor numérico que haya que adivinar.
Ejemplo: Una altura constante 0,5 durante 0,8 minutos aporta un área de 0,4.
- G′(x), dG/dx · Derivada y primitiva
Se lee: ge prima de x; derivada de ge respecto de x.
La derivada mide el cambio local o pendiente. G es una primitiva de f si al derivar G obtenemos f.
Ejemplo: Si G(x) = x²/2, su derivada es x. Entre 0 y 2, la integral de x vale G(2) − G(0) = 2.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
Datos y supuestos
- b = 3; umbral t = 1,5.
- La densidad no es una probabilidad puntual.
- X es continua y su soporte es [0,b].
- La integral de la densidad sobre el soporte debe ser uno.
Calcula P(X = t), exactamente en el umbral.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X = t), exactamente en el umbral. La probabilidad continua es un área. Una integral suma altura por anchura y una primitiva permite evaluar esa acumulación entre dos límites. Normalizamos sobre todo el soporte antes de integrar la región solicitada. Para este apartado: Un único punto tiene longitud cero.
Distinguir altura y área
Aunque f(t) = 0,3333333, el intervalo [t,t] tiene área cero.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. P(X=t) no se obtiene sustituyendo t en la densidad.
P(X=t) no se obtiene sustituyendo t en la densidad.