Funciones, intervalos y sumatorios
Repaso previo: no corresponde a un apartado de los apuntes.
Objetivos de la lección
- Leer una función definida por tramos.
- Traducir desigualdades y sumatorios a valores concretos.
Apartado 1 de 3
Seguir una entrada por la regla
Transcripción
Hola.
Una señal sigue esta regla: duplicar la entrada y añadir una unidad de base.
La llamaremos ge; ¿qué salida corresponde a una entrada equis de valor tres?
Duplicar tres da seis: sustituimos la entrada en la primera parte de la regla.
Todavía no hemos incorporado la señal de base.
A esos seis añadimos la unidad de base y sale siete.
El orden permite distinguir lo que depende de la entrada de lo que ya estaba presente.
En la gráfica la entrada tres se empareja con la salida siete, que llamamos ge de tres.
Los paréntesis indican evaluación, no que exista un número ge que multiplicamos por tres.
Antes de sustituir preguntamos si la entrada pertenece al dominio, el conjunto permitido.
Si la regla es por tramos, localizar la entrada decide cuál de las fórmulas corresponde usar.
En probabilidad también necesitaremos el soporte: dónde el modelo coloca masa o densidad.
Una fórmula para tiempos positivos no autoriza a asignar probabilidad a tiempos negativos solo porque podamos escribirlos.
Palabras y símbolos de esta lección
- f(x), g(x) · Función
Se lee: efe de x; ge de x.
Una función es una regla que transforma una entrada en una salida. Los paréntesis indican la entrada: f(x) no significa f multiplicado por x.
Ejemplo: Si g(x) = x², entonces g(3) = 9.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- ∑ᵢ aᵢ · Sumatorio
Se lee: suma de a sub i.
La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.
Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.
- p_X(x) · Masa de probabilidad
Se lee: pe sub equis de x.
Es la probabilidad de un valor exacto de una variable discreta, que toma valores separados.
Ejemplo: Si P(X = 2) = 0,3, la masa en dos brotes es 0,3.
¿Qué hace una función con el dato que le damos?
Una función es una regla de entrada y salida. Si g(x) = 2x + 1, la letra x representa la entrada. Para la entrada tres hacemos 2 × 3 + 1 = 7. Escribimos g(3) = 7 y leemos ge de tres es siete. Los paréntesis indican dónde se introduce el dato.
El dominio dice qué entradas aceptamos. Una función por tramos tiene reglas distintas según la entrada: por ejemplo, una señal puede ser cero antes de una dosis mínima y crecer después. Primero elegimos el tramo y después calculamos. El soporte de un modelo indica qué valores puede presentar la variable.
Una función no es solo una curva
Una función asigna una salida a cada entrada permitida. El dominio indica qué entradas se admiten; el recorrido, qué salidas pueden aparecer. En una función de probabilidad importa también el soporte: los valores donde puede haber masa o densidad. Una fórmula sin soporte está incompleta, aunque dibuje una curva familiar.
Una definición por tramos permite usar reglas distintas según la región. Por ejemplo, una densidad puede ser constante dentro de un intervalo y cero fuera. Para evaluar la función, primero localiza la entrada y después aplica el tramo correspondiente. No extrapoles una fórmula positiva a tiempos negativos si el modelo describe duraciones.
Desarrollo escrito del ejemplo
Una regla didáctica transforma una dosis x en una señal g(x). No es una probabilidad ni un ajuste a datos reales.
- f(x), g(x) · Función
Se lee: efe de x; ge de x.
Una función es una regla que transforma una entrada en una salida. Los paréntesis indican la entrada: f(x) no significa f multiplicado por x.
Ejemplo: Si g(x) = x², entonces g(3) = 9.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
- ∑ᵢ aᵢ · Sumatorio
Se lee: suma de a sub i.
La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.
Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.
Datos y supuestos
- g(x) = 3 × x + 5.
- Se permiten entradas x entre 0 y 3, incluidos ambos extremos; entrada pedida: x = 2.
- Los paréntesis indican la entrada de la función.
- Sumar salidas no significa sumar únicamente sus entradas.
¿Qué salida produce la entrada indicada?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿Qué salida produce la entrada indicada? Una función es una regla de entrada y salida. Primero localizamos la entrada permitida; después la sustituimos en la regla. Un sumatorio solo abrevia sumar varias de esas salidas. Para este apartado: Sustituye x por la entrada y multiplica antes de sumar.
Sustituir
g(2) = 3 × 2 + 5.
Respetar el orden de operaciones
Primero 3 × 2 = 6; después sumamos 5: 11.
Comprobar e interpretar
El resultado es 11 unidades de señal. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La salida g(x) no es x: es el resultado de aplicar la regla.
La salida g(x) no es x: es el resultado de aplicar la regla.
Hacer la cuenta y entender el resultado
El signo menor que excluye el límite: un recuento menor que tres permite cero, uno y dos. Menor o igual que tres añade el tres. Un sumatorio es una suma abreviada: sumar a sub uno, a sub dos y a sub tres significa sumar esos tres términos, no los índices uno, dos y tres.
Si los brotes posibles son 0, 2 y 5 con probabilidades 0,1, 0,6 y 0,3, menos de tres brotes incluye las dos primeras filas. Sumamos 0,1 + 0,6 = 0,7. No inventamos una fila para uno ni para tres: distinguimos los valores permitidos de los umbrales de una pregunta.
Fórmulas del apartado
Se lee: Suma de a sub i desde i igual a uno hasta tres: a sub uno más a sub dos más a sub tres. El subíndice etiqueta cada término.
Se suman los términos indicados por el índice, no el índice mismo.
Desarrollo escrito del ejemplo
Una regla didáctica transforma una dosis x en una señal g(x). No es una probabilidad ni un ajuste a datos reales.
- f(x), g(x) · Función
Se lee: efe de x; ge de x.
Una función es una regla que transforma una entrada en una salida. Los paréntesis indican la entrada: f(x) no significa f multiplicado por x.
Ejemplo: Si g(x) = x², entonces g(3) = 9.
- <, ≤, >, ≥; (a,b), [a,b] · Desigualdades e intervalos
Se lee: menor que; menor o igual que; mayor que; mayor o igual que.
Un paréntesis excluye el extremo; un corchete lo incluye. Las llaves enumeran valores y el símbolo ∈ se lee pertenece a.
Ejemplo: X < 3 excluye 3; X ≤ 3 lo incluye. [0,2] incluye cero y dos.
- ∑ᵢ aᵢ · Sumatorio
Se lee: suma de a sub i.
La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.
Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.
Datos y supuestos
- g(x) = 3 × x + 5.
- Se permiten entradas x entre 0 y 3, incluidos ambos extremos; entrada pedida: x = 2.
- Los paréntesis indican la entrada de la función.
- Sumar salidas no significa sumar únicamente sus entradas.
¿Cuánto vale g(0) + g(1) + g(2)?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿Cuánto vale g(0) + g(1) + g(2)? Una función es una regla de entrada y salida. Primero localizamos la entrada permitida; después la sustituimos en la regla. Un sumatorio solo abrevia sumar varias de esas salidas. Para este apartado: Calcula las tres salidas por separado.
Abrir la suma
g(0) = 5; g(1) = 8; g(2) = 11.
Sumar los resultados
5 + 8 + 11 = 24. Un sumatorio con índices 0, 1 y 2 abreviaría esta misma cuenta.
Comprobar e interpretar
El resultado es 24 unidades de señal. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. El índice indica qué entrada usar en cada término.
El índice indica qué entrada usar en cada término.
Leer cada símbolo en voz alta
Un intervalo abierto excluye su extremo y uno cerrado lo incluye. Para un recuento, menos de tres admite cero, uno y dos; como máximo tres añade el tres. En variables continuas con densidad, un punto aislado no tiene probabilidad, pero en variables discretas sí puede tenerla. La precisión verbal cambia entonces el resultado.
El sumatorio es una instrucción compacta para recorrer índices y sumar términos. El índice es un contador, no necesariamente una observación. Si los valores posibles son cero, dos y cinco, sumar sobre tres índices no significa sumar sobre los valores uno, dos y tres. Escribe los primeros términos antes de automatizar un cálculo.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad de que equis sea menor que tres: sumamos las probabilidades de equis igual a cero, uno y dos. Esta expresión supone que equis cuenta enteros no negativos.
Menos de tres excluye el valor tres cuando X es un recuento no negativo.
Una tabla pequeña
El número de brotes de una planta toma valores 0, 2 y 5 con masas 0,1, 0,6 y 0,3. La probabilidad de menos de tres brotes suma las dos primeras masas y vale 0,7. La media no suma las etiquetas de las filas: multiplica cada valor observado por su masa y obtiene 2,7 brotes.
Ejemplo resuelto
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