Multinomial: varias categorías con total fijo

Apuntes, tema 4 · 4.3 y 4.8.8: multinomial, trinomial y momentos; ejercicios U3 1, 3, 6 y 8Abrir el PDF en la página 6

Lección

Objetivos de la lección

• Definir categorías exhaustivas y excluyentes.
• Explicar las marginales binomiales y la dependencia entre recuentos.

Apartado 1 de 3

Cada ensayo ocupa una sola categoría

Transcripción

Hola, cada célula se clasifica en a, reposo, con probabilidad una mitad; be, activada, con tres décimas; o ce, dañada, con dos décimas.

Cada célula entra exactamente en una categoría y entre las tres cubren todos sus resultados, por eso esas probabilidades suman uno.

Clasificamos cuatro células y queremos dos en a, una en be y una en ce.

Suponemos cuatro ensayos independientes y las mismas probabilidades en cada uno.

El vector guarda cuántas células caen en cada categoría: son enteros no negativos que suman cuatro.

La independencia es entre ensayos, no entre estos tres recuentos, que comparten las mismas cuatro plazas.

Empecemos por el orden a, a, be, ce.

Por independencia multiplicamos una mitad por cada una de las dos a, tres décimas por be y dos décimas por ce.

La potencia dos abrevia las dos primeras aportaciones y el resultado es quince milésimas.

Todavía es la probabilidad de un orden, no de todo el vector de recuentos.

Cuatro factorial ordenaría cuatro etiquetas distinguibles, pero intercambiar las dos a no produce una secuencia nueva.

Dividimos por dos factorial para quitar esas repeticiones, y por uno factorial para las otras categorías.

Quedan doce órdenes distintos con los mismos recuentos dos, uno, uno.

Todos esos órdenes pesan quince milésimas porque las probabilidades por célula son comunes.

Son incompatibles, así que reunimos sus masas multiplicando doce por cero coma cero quince: dieciocho centésimas.

Esa es la probabilidad de la terna dos, uno, uno, cualquiera que sea el orden.

En general ene factorial dividido por los factoriales de los recuentos cuenta secuencias distintas, y el producto de pe sub i elevado a equis sub i da su peso.

Pe sub equis vector es la masa conjunta multinomial.

Solo vale para recuentos enteros no negativos que suman ene y probabilidades que suman uno; fuera del soporte la masa es cero.

Palabras y símbolos de esta lección

n, p, k, r · Ensayos y éxitos

Se lee: ene; pe; ka; erre.

n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.

Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.

p_{X,Y}(x,y), f_{X,Y}(x,y) · Distribución conjunta

Se lee: masa conjunta de equis e i griega; densidad conjunta de equis e i griega.

Describe dos medidas del mismo resultado. Una coma entre condiciones de P significa que se cumplen ambas, no una alternativa.

Ejemplo: P(X = 1, Y = 0) pide X igual a uno e Y igual a cero.

n! · Factorial

Se lee: ene factorial.

Multiplica los enteros de uno hasta n. Por definición, cero factorial vale uno.

Ejemplo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

∏ᵢ aᵢ · Productorio

Se lee: producto de a sub i.

La pi grande pide multiplicar, no sumar, todos los términos indicados por el índice.

Ejemplo: Si los términos son 2, 3 y 5, el producto es 30.

∑ᵢ aᵢ · Sumatorio

Se lee: suma de a sub i.

La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.

Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.

Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación

Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.

La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.

Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.

¿Cómo contamos varias categorías con un total fijo?

Clasificamos cuatro células en reposo, activadas o dañadas. Cada célula pertenece a una sola categoría y las tres cubren todas las opciones. Si los ensayos son independientes y las probabilidades se mantienen, los tres recuentos siguen una multinomial.

Con probabilidades 0,5, 0,3 y 0,2, preguntamos por dos en reposo, una activada y una dañada. Un orden concreto tiene probabilidad 0,5² × 0,3 × 0,2. Hay 4!/(2!1!1!) = 12 órdenes compatibles. Multiplicamos y obtenemos 0,18.

Extender el recuento binomial

La multinomial cuenta cuántos ensayos terminan en cada una de varias categorías. Las categorías deben ser mutuamente excluyentes y cubrir todos los resultados de un ensayo. El número de ensayos está fijado, son independientes y las probabilidades de las categorías permanecen constantes.

El coeficiente multinomial cuenta secuencias con los mismos totales de categorías. El producto de probabilidades asigna una masa a cada secuencia y el coeficiente reúne las equivalentes. Las coordenadas del vector suman siempre el número de ensayos; por eso su soporte no es un producto de rangos independientes.

Fórmulas del apartado

Se lee: Probabilidad del vector de recuentos: ene factorial dividido entre el producto de los factoriales de los recuentos, por el producto de probabilidades elevadas a esos recuentos. Los recuentos suman ene y las probabilidades uno.

$$P(\boldsymbol X=\boldsymbol x)=\frac{n!}{\prod_i x_i!}\prod_i p_i^{x_i},\quad \sum_i x_i=n,\quad \sum_i p_i=1$$

Los recuentos son enteros no negativos y las categorías forman una partición en cada ensayo; un factor con exponente cero vale uno.

Clasificación ficticia de cuatro células

Cuatro células independientes se clasifican en reposo, activadas o dañadas con probabilidades 0,5, 0,3 y 0,2. La masa de obtener recuentos dos, uno y uno es doce por 0,5 al cuadrado por 0,3 por 0,2, que vale 0,18. El recuento de activadas es marginalmente binomial, pero no independiente del de dañadas.

Desarrollo escrito del ejemplo

Cada célula de un lote se clasifica en una sola categoría: A en reposo, B activada o C dañada. X_A, X_B y X_C cuentan las tres categorías.

Datos y supuestos

• n=6; (p_A,p_B,p_C)=(0,2; 0,5; 0,3), con suma uno.
• Recuentos observados (x_A,x_B,x_C)=(2, 2, 2), con suma 6; el soporte son ternas enteras no negativas que suman n.
• Categorías mutuamente excluyentes y exhaustivas para cada célula.
• Células independientes con probabilidades constantes; los recuentos de categorías no son independientes.

Calcula P(X_A=x_A, X_B=x_B, X_C=x_C).

Identificar la pregunta y justificar el método

Calcula P(X_A=x_A, X_B=x_B, X_C=x_C). Las categorías son excluyentes y cubren cada ensayo. El factorial multinomial cuenta secuencias con esos recuentos y el producto de potencias pondera cada secuencia. Los ensayos son independientes, pero los recuentos comparten un total fijo. Para este apartado: Una secuencia tiene probabilidad producto; el coeficiente reúne todas las secuencias con esos recuentos.

Contar las secuencias

Coeficiente n!/(x_A!x_B!x_C!); Γ(m+1)=m!, incluido 0!=1.

$$\log C=\log\Gamma(n+1)-\sum_{i=A,B,C}\log\Gamma(x_i+1)$$

Evaluar el coeficiente

El factorial de 6 se divide por los factoriales de 2, 2, 2. El numerador es 720 y el denominador es 2 por 2 por 2; obtenemos 90 secuencias diferentes.

Ponderar una secuencia

Multiplicamos 0,2 elevado a 2 por 0,5 elevado a 2 por 0,3 elevado a 2. La probabilidad de una secuencia concreta es 0,0009; cualquier factor con exponente cero vale uno.

Reunir todas las secuencias

Las 90 secuencias son excluyentes y tienen la misma probabilidad. Multiplicamos 90 por 0,0009 y obtenemos 0,081. Para números grandes, el software calcula la misma expresión con logaritmos de factoriales y una exponencial final.

$$P(\boldsymbol X=\boldsymbol x)=\frac{n!}{\prod_i x_i!}\prod_i p_i^{x_i}$$

Comprobar la restricción

2 + 2 + 2 = 6; omitir una categoría sin ajustar su recuento rompería el total.

Comprobar e interpretar

El resultado es 0,081 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. La masa corresponde a una terna de recuentos, no a una secuencia particular de células.

La masa corresponde a una terna de recuentos, no a una secuencia particular de células.

Ejemplo resuelto

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Ejercicios