Independencia de variables y factorización
Apuntes, tema 4 · 4.7 a 4.7.3 y 4.8.6: caracterizaciones, propiedades y producto de esperanzasAbrir el PDF en la página 13
Objetivos de la lección
- Comprobar independencia mediante masas, densidades o acumuladas.
- Reconocer soportes incompatibles con una factorización.
Apartado 1 de 3
Comprobar todas las parejas
Transcripción
Hola, en esta tabla equis ocupa filas e i griega columnas, con masas conjuntas cuarenta y dos, veintiocho, dieciocho y doce centésimas.
Comprobaremos independencia: que conocer una componente no cambie la distribución de la otra.
En discreto equivale a que cada masa conjunta sea el producto de sus dos masas marginales; debemos revisar toda la tabla.
Sumando cada fila obtenemos las marginales de equis: siete y tres décimas.
Sumando cada columna obtenemos las de i griega: seis y cuatro décimas.
Las calculamos a partir de la conjunta antes de probar nada; no estamos multiplicando para imponer de antemano la independencia que queremos comprobar.
Para la pareja cero, cero, la factorización exigiría siete décimas por seis décimas: cuarenta y dos centésimas.
Coincide con su masa conjunta.
La primera celda supera la comprobación, pero por sí sola no certifica que las demás parejas cumplan la misma regla.
Para cero, uno usamos la misma marginal de equis cero, siete décimas, pero la marginal de i griega uno, cuatro décimas.
El producto da veintiocho centésimas y coincide con la segunda celda.
La comparación mantiene el orden de las coordenadas y cambia solo lo que pide esa pareja.
Para la segunda fila, tres décimas por seis décimas da dieciocho centésimas y tres por cuatro décimas da doce.
También coinciden.
Hemos comprobado todas las parejas con posibles masas marginales; fuera de los indicadores ambas descripciones dan cero.
En esta distribución completa sí podemos concluir independencia.
Una sola discrepancia bastaría para refutarla; una coincidencia aislada no la demuestra.
La caracterización general usa acumuladas: la conjunta debe ser el producto de las marginales para todos los umbrales equis e i griega.
Así exige independencia de todos los sucesos de ese tipo, no solo de una celda favorable ni de un resumen como la correlación.
Palabras y símbolos de esta lección
- p_{X,Y}(x,y), f_{X,Y}(x,y) · Distribución conjunta
Se lee: masa conjunta de equis e i griega; densidad conjunta de equis e i griega.
Describe dos medidas del mismo resultado. Una coma entre condiciones de P significa que se cumplen ambas, no una alternativa.
Ejemplo: P(X = 1, Y = 0) pide X igual a uno e Y igual a cero.
- p_X(x), f_X(x) · Distribución marginal
Se lee: masa marginal de equis; densidad marginal de equis.
Describe una sola medida reuniendo todos los valores de la otra. Se suma o integra, sin fijar la otra medida.
Ejemplo: Para contar plantas con marcador verde sumamos las que tienen rojo y las que no.
- A ⊥ B · Independencia
Se lee: a es independiente de be.
Conocer si ocurre un suceso no cambia la probabilidad del otro. No significa que no puedan ocurrir juntos.
Ejemplo: Dos ensayos pueden fallar juntos aunque sean independientes.
- F_X(x) · Probabilidad acumulada
Se lee: efe mayúscula sub equis de x.
Es la probabilidad de obtener un valor de X menor o igual que x. El subíndice identifica la variable; x es el umbral.
Ejemplo: F_X(2) = 0,7 significa que el 70 % no supera 2.
- f(x), g(x) · Función
Se lee: efe de x; ge de x.
Una función es una regla que transforma una entrada en una salida. Los paréntesis indican la entrada: f(x) no significa f multiplicado por x.
Ejemplo: Si g(x) = x², entonces g(3) = 9.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
¿La tabla conjunta añade información sobre la relación?
Si conocer X no cambia cómo se reparte Y, las variables son independientes. En una tabla, cada celda debe coincidir con la probabilidad marginal de su fila por la de su columna. No basta con que una celda coincida por casualidad.
Por ejemplo, si P(X = 1) = 0,3 y P(Y = 1) = 0,4, la celda (1,1) debería valer 0,12. Una celda diferente basta para descartar independencia. Para confirmarla en una tabla finita comprobamos todas, incluidos los ceros.
Una condición para todos los umbrales
Dos variables son independientes si los sucesos definidos por ellas no se informan mutuamente. Una caracterización equivalente exige que la acumulada conjunta sea el producto de las marginales para todos los umbrales. Comprobar una sola pareja de umbrales no basta, aunque una sola discrepancia sí refuta la independencia.
En variables discretas, la masa conjunta debe ser el producto de masas marginales en todo el soporte. En variables absolutamente continuas, la densidad debe factorizar casi en todas partes. Casi en todas partes permite diferencias en puntos o regiones de área nula que no cambian probabilidades.
Fórmulas del apartado
Se lee: Para todos los umbrales equis e i griega, la acumulada conjunta es el producto de las acumuladas marginales. Una igualdad aislada no demuestra independencia.
La igualdad para todos los umbrales caracteriza independencia de variables reales.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Con densidades hacemos la misma comparación entre la conjunta completa y el producto de marginales. Hay que incluir dónde la función vale cero. Una fórmula que parece separable dentro de un triángulo no basta: el producto de marginales podría asignar densidad a pares que el triángulo prohíbe.
La expresión casi en todas partes permite diferencias en conjuntos sin área que no cambian probabilidades; no autoriza ignorar una región entera. La independencia se conserva si transformamos cada variable por separado, pero seleccionar un grupo por una condición sobre ambas puede crear dependencia.
El soporte también decide
Una fórmula que parece producto dentro de un triángulo no garantiza independencia. Si ambas marginales son positivas en un rango, su producto asignaría densidad a todo el rectángulo de esos rangos, incluidas combinaciones prohibidas por el triángulo. Hay que comparar las funciones completas, con sus ceros y soportes.
La independencia permite separar esperanzas de productos integrables y sumar varianzas finitas sin covarianza. Transformaciones aplicadas por separado a variables independientes conservan independencia, siempre que sean medibles. Pero observar una suma fija o seleccionar un subgrupo puede introducir dependencia; las hipótesis deben volver a revisarse tras esa selección.
Fórmulas del apartado
Se lee: En el caso discreto, masa conjunta es producto de masas marginales. En el continuo, densidad conjunta es producto de densidades marginales salvo diferencias que no cambien áreas.
Se usa la caracterización correspondiente al caso discreto o absolutamente continuo y se incluye el soporte.
El soporte también decide
Una fórmula que parece producto dentro de un triángulo no garantiza independencia. Si ambas marginales son positivas en un rango, su producto asignaría densidad a todo el rectángulo de esos rangos, incluidas combinaciones prohibidas por el triángulo. Hay que comparar las funciones completas, con sus ceros y soportes.
La independencia permite separar esperanzas de productos integrables y sumar varianzas finitas sin covarianza. Transformaciones aplicadas por separado a variables independientes conservan independencia, siempre que sean medibles. Pero observar una suma fija o seleccionar un subgrupo puede introducir dependencia; las hipótesis deben volver a revisarse tras esa selección.
Fórmulas del apartado
Se lee: Si equis e i griega son independientes, la esperanza del producto de una función de cada una se separa en producto de esperanzas, cuando esas esperanzas están bien definidas.
La separación requiere transformaciones medibles y condiciones de integrabilidad para las esperanzas empleadas.
Dos indicadores ficticios
Una tabla tiene masas 0,42, 0,28, 0,18 y 0,12 para las parejas cero-cero, cero-uno, uno-cero y uno-uno. La marginal de X en uno es 0,30 y la de Y en uno 0,40. Todas las celdas coinciden con productos de marginales; por ejemplo, 0,30 por 0,40 da 0,12. Aquí sí se verifica independencia en toda la tabla.
Desarrollo escrito del ejemplo
X es una desviación simétrica respecto a una referencia biológica y Y=X² es su desviación cuadrática.
- A ⊥ B · Independencia
Se lee: a es independiente de be.
Conocer si ocurre un suceso no cambia la probabilidad del otro. No significa que no puedan ocurrir juntos.
Ejemplo: Dos ensayos pueden fallar juntos aunque sean independientes.
- Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación
Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.
La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.
Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- p_{X,Y}(x,y), f_{X,Y}(x,y) · Distribución conjunta
Se lee: masa conjunta de equis e i griega; densidad conjunta de equis e i griega.
Describe dos medidas del mismo resultado. Una coma entre condiciones de P significa que se cumplen ambas, no una alternativa.
Ejemplo: P(X = 1, Y = 0) pide X igual a uno e Y igual a cero.
Datos y supuestos
- X toma −1, 0, 1 con probabilidades 0,3333333, 0,3333333, 0,3333333.
- Y solo toma 0 y a², donde a es la amplitud; Y queda determinado por X.
- Distribución discreta con momentos finitos.
- Covarianza cero no implica independencia en general.
Calcula P(X=0,Y=0) − P(X=0)P(Y=0).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X=0,Y=0) − P(X=0)P(Y=0). La independencia exige que todas las masas conjuntas coincidan con productos de marginales. Una sola discrepancia basta para refutarla; una sola coincidencia no basta para demostrarla. Para este apartado: Si X=0 entonces Y=0; ambos sucesos tienen probabilidad p₀.
Calcular la conjunta real
P(X=0,Y=0)=p₀=0,3333333.
Comparar con la factorización
p₀−p₀²=0,3333333−(0,3333333)²=0,2222222.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,2222222 diferencia de probabilidades. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La diferencia positiva en una sola celda basta para refutar independencia, aunque la covarianza sea cero.
La diferencia positiva en una sola celda basta para refutar independencia, aunque la covarianza sea cero.