Marginales: conservar una medida y olvidar otra
Apuntes, tema 4 · 4.4 y 4.6.2: marginales de tablas y densidades; ejercicios U3 3 y 5Abrir el PDF en la página 8
Objetivos de la lección
- Obtener marginales discretas y continuas.
- Distinguir una marginal de un corte condicionado.
Apartado 1 de 3
Conservar Y sin fijar X
Transcripción
Hola, en esta tabla de marcadores equis ocupa las filas e i griega las columnas, y cada celda representa una pareja simultánea.
Preguntemos por i griega uno sin conocer equis.
Nos sirve la columna de i griega uno entera: puede acompañarse de cualquiera de los valores de equis.
Esa es una pregunta marginal, no condicionada.
La pareja cero, uno aporta quince centésimas y la pareja uno, uno veinticinco.
Son posibilidades incompatibles de equis para el mismo suceso i griega uno, así que sus masas se suman.
El resultado es cuatro décimas de probabilidad, sin dividir por una fila.
La regla general mantiene fijo el valor i griega que nos interesa y suma la conjunta sobre todos los equis posibles.
Pe sub i griega es la masa marginal: agrupa todas las parejas que producen ese valor.
El subíndice de la suma identifica la coordenada que dejamos de distinguir, no una condición conocida.
Para conservar equis haríamos lo contrario: sumar las columnas de cada fila.
Sus masas son una mitad y una mitad.
Para i griega obtenemos seis décimas y cuatro décimas.
Cada marginal suma uno porque cada pareja original se ha contado una sola vez al agruparla por su componente.
La marginal conserva todas las probabilidades sobre una medida considerada sola, pero pierde cómo se empareja con la otra.
Si necesitáramos saber qué pasa en células con equis uno, no bastaría con esa marginal: volveríamos a la tabla y cambiaríamos la pregunta mediante condicionamiento.
De las celdas conjuntas a un total marginal
En esta tabla A nombra las filas y B las columnas. Los cuatro recuentos ficticios son 3, 2, 1 y 4. ¿Qué cambia entre mirar la celda inferior derecha y mirar toda la segunda columna?
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La celda inferior derecha contiene 4 de los 10 casos: P(A=1, B=1)=0,4. Al sumar la segunda columna se incluyen también los 2 casos de la primera fila: P(B=1)=0,6. Obtener una marginal elimina la condición sobre la otra variable sumando todos sus valores; no selecciona una sola celda.
Palabras y símbolos de esta lección
- p_{X,Y}(x,y), f_{X,Y}(x,y) · Distribución conjunta
Se lee: masa conjunta de equis e i griega; densidad conjunta de equis e i griega.
Describe dos medidas del mismo resultado. Una coma entre condiciones de P significa que se cumplen ambas, no una alternativa.
Ejemplo: P(X = 1, Y = 0) pide X igual a uno e Y igual a cero.
- p_X(x), f_X(x) · Distribución marginal
Se lee: masa marginal de equis; densidad marginal de equis.
Describe una sola medida reuniendo todos los valores de la otra. Se suma o integra, sin fijar la otra medida.
Ejemplo: Para contar plantas con marcador verde sumamos las que tienen rojo y las que no.
- ∑ᵢ aᵢ · Sumatorio
Se lee: suma de a sub i.
La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.
Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.
- ∫ₐᵇ f(x) dx · Integral definida
Se lee: integral entre a y b de efe de x respecto de x.
Acumula pequeñas contribuciones entre los límites a y b. Con una función no negativa calcula el área. dx indica qué variable recorre el intervalo; no es un factor numérico que haya que adivinar.
Ejemplo: Una altura constante 0,5 durante 0,8 minutos aporta un área de 0,4.
¿Cómo miramos una medida sin fijar la otra?
Una tabla conjunta registra dos marcadores. Si solo preguntamos por el verde, reunimos todas las posibilidades del rojo: presente y ausente. Sumamos las celdas correspondientes. El resultado se llama distribución marginal porque conserva una medida e ignora cuál fue la otra.
No dividimos por una fila ni seleccionamos solo las células rojas. Eso sería condicionar, una pregunta diferente. La marginal sigue describiendo todas las células del modelo y sus probabilidades deben sumar uno. Varias tablas conjuntas distintas pueden tener las mismas marginales.
Reunir todas las posibilidades del otro componente
La marginal de una variable conserva su comportamiento sin fijar el valor de la otra. En una tabla discreta, se suman las celdas de todas las columnas o filas correspondientes. El resultado vuelve a ser una distribución normalizada. No se divide por una fila: eso sería un condicionamiento.
En el caso continuo, se integra la densidad conjunta respecto al componente que se quiere eliminar. Los límites deben respetar el soporte. Si los valores posibles de la segunda medida dependen de la primera, el intervalo integrado también depende de la primera y una densidad conjunta uniforme puede producir una marginal no uniforme.
Fórmulas del apartado
Se lee: Masa marginal de equis: sumamos la masa conjunta sobre todos los valores de i griega. Para la de i griega sumamos sobre equis.
Se reúnen todos los valores del componente que no se conserva.
Desarrollo escrito del ejemplo
X indica presencia de un alelo (0/1) e Y respuesta a un estímulo (0/1). Se elige un organismo de una tabla de frecuencias.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- p_{X,Y}(x,y), f_{X,Y}(x,y) · Distribución conjunta
Se lee: masa conjunta de equis e i griega; densidad conjunta de equis e i griega.
Describe dos medidas del mismo resultado. Una coma entre condiciones de P significa que se cumplen ambas, no una alternativa.
Ejemplo: P(X = 1, Y = 0) pide X igual a uno e Y igual a cero.
- p_X(x), f_X(x) · Distribución marginal
Se lee: masa marginal de equis; densidad marginal de equis.
Describe una sola medida reuniendo todos los valores de la otra. Se suma o integra, sin fijar la otra medida.
Ejemplo: Para contar plantas con marcador verde sumamos las que tienen rojo y las que no.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- ∑ᵢ aᵢ · Sumatorio
Se lee: suma de a sub i.
La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.
Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.
Datos y supuestos
- Filas X=0,1; columnas Y=0,1; total 100 organismos.
- Tabla de recuentos: X=0: [20,30]; X=1: [20,30].
- Cada organismo se selecciona con la misma probabilidad.
- No se supone independencia entre X e Y.
Calcula P(Y=1).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(Y=1). Cada celda es una pareja simultánea. Sumar una fila o columna elimina una variable y produce una marginal; dividir la celda por la marginal de la condición normaliza el subgrupo seleccionado. Para este apartado: Suma toda la columna Y=1 y divide por el total.
Eliminar X sumando
(30 + 30)/100 = 0,6.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,6 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Una marginal ignora cuál de los dos valores de X ocurrió.
Una marginal ignora cuál de los dos valores de X ocurrió.
Hacer la cuenta y entender el resultado
En el caso continuo sumamos mediante una integral. Para densidad dos en el triángulo x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1, fijamos x y recorremos todos los y permitidos. El corte mide uno menos x; su altura es dos. La marginal vale 2(1−x) entre cero y uno.
Esta marginal no es uniforme: al aumentar x queda menos espacio para y. Una superficie de altura constante no produce necesariamente la misma densidad en cada coordenada. Obtener una marginal pierde información sobre cómo se coordinan ambas medidas; no permite reconstruir la conjunta sin más supuestos.
Reunir todas las posibilidades del otro componente
La marginal de una variable conserva su comportamiento sin fijar el valor de la otra. En una tabla discreta, se suman las celdas de todas las columnas o filas correspondientes. El resultado vuelve a ser una distribución normalizada. No se divide por una fila: eso sería un condicionamiento.
En el caso continuo, se integra la densidad conjunta respecto al componente que se quiere eliminar. Los límites deben respetar el soporte. Si los valores posibles de la segunda medida dependen de la primera, el intervalo integrado también depende de la primera y una densidad conjunta uniforme puede producir una marginal no uniforme.
Fórmulas del apartado
Se lee: Densidad marginal de equis: integramos la conjunta respecto de i griega. Para la de i griega integramos respecto de equis, siempre dentro del soporte.
Las integrales se pueden restringir al soporte conjunto sin añadir regiones imposibles.
Reparto ficticio de un recurso
En el triángulo positivo con x más y menor que uno, toma densidad conjunta constante dos. Para un x entre cero y uno, y recorre desde cero hasta uno menos x. La marginal de X vale . No es uniforme: cuando x aumenta, quedan menos posibilidades de y. Su integral entre cero y uno sigue siendo uno.
Lo que se pierde al marginalizar
Una marginal permite responder preguntas sobre una variable sola, pero no recupera generalmente la relación entre ambas. Para reconstruir una conjunta como producto de marginales hay que justificar independencia. Sumar o integrar borra información de coordinación, aunque conserve exactamente las probabilidades univariantes.
Visualmente, un corte de una superficie muestra la altura conjunta con una coordenada fija; una proyección por integración reúne alturas a lo largo de la coordenada eliminada. Son operaciones distintas. En una región triangular, la longitud del corte explica por qué la marginal crece o decrece incluso cuando la superficie tiene altura constante.
Ejemplo resuelto
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