Normal bivariante: marginales y predicción condicionada
Apuntes, tema 4 · 4.6.4 y 4.6.5: densidad normal bivariante, marginales y condicionalesAbrir el PDF en la página 11
Objetivos de la lección
- Interpretar correlación y elipses de una normal conjunta.
- Obtener una normal condicional con media y varianza correctas.
Apartado 1 de 4
Dos campanas marginales no bastan
Transcripción
Hola.
Modelemos dos señales medidas juntas: medias treinta y setenta, desviaciones cinco y ocho y correlación un cuarto.
Supondremos una normal bivariante, una distribución para parejas sobre todo el plano.
Tener dos marginales normales y esos momentos no basta por sí solo para demostrar normalidad conjunta.
Mu equis y mu i griega nombran los centros; sigma equis y sigma i griega son desviaciones, no varianzas.
Ro es su correlación.
Para una densidad no degenerada sobre el plano, las desviaciones son positivas y ro está estrictamente entre menos uno y uno, como el cuarto de este ejemplo.
Al integrar toda una coordenada obtenemos la marginal normal de la otra: equis tiene media treinta y varianza veinticinco; i griega, media setenta y varianza sesenta y cuatro.
Ro modifica la inclinación y el alargamiento de las elipses conjuntas, pero no cambia por sí sola esas marginales con los demás parámetros fijados.
Para comparar las dos direcciones quitamos a cada coordenada su centro y dividimos por su propia desviación.
Zeta equis es equis menos mu equis entre sigma equis: en el ejemplo, la distancia a treinta medida en unidades de cinco.
Esto elimina sus unidades originales.
En la otra coordenada usamos i griega menos setenta dividido entre ocho, según esta fórmula general.
Usar cinco en ambas confundiría las escalas.
Tipificar separadamente deja ambas marginales estándar, pero conserva la correlación: no vuelve independientes las señales.
Si ro valiera uno o menos uno, una señal tipificada determinaría linealmente la otra y el vector quedaría sobre una línea.
Seguiría habiendo una distribución, pero no esta densidad bidimensional ordinaria.
Distinguir esos casos degenerados evita dividir por cero al usar la fórmula del modelo sobre áreas.
Conocer X cambia la distribución de Y
Supongamos normalidad conjunta, medias 12 y 30, desviaciones típicas 2 y 4 y correlación 0,6. Si observamos X=14, ¿cómo cambia nuestra incertidumbre sobre Y?
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La curva rosa mantiene la marginal de Y, con media 30 y desviación 4. La azul representa Y dado X=14: su media es 32,4 y su desviación es 3,2, no su varianza, que vale 10,24. Conocer X desplaza el centro y reduce la dispersión bajo este modelo; no determina exactamente Y ni demuestra causalidad.
Palabras y símbolos de esta lección
- X ∼ N(μ,σ²), Φ(z) · Normal y acumulada estándar
Se lee: equis sigue una normal de media mu y varianza sigma al cuadrado; fi de zeta.
∼ significa sigue la distribución. Φ devuelve el área a la izquierda en una normal de media cero y desviación uno.
Ejemplo: Φ(0) = 0,5: la mitad de la campana queda a la izquierda de su centro.
- Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación
Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.
La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.
Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- z = (x−μ)/σ · Tipificar
Se lee: zeta es equis menos mu dividido entre sigma.
Resta la media y divide por la desviación típica. El resultado indica cuántas desviaciones separan el valor del centro.
Ejemplo: Con media 40 y desviación 4, el valor 48 está a dos desviaciones: z = 2.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
- eˣ, exp(x) · Exponencial natural
Se lee: e elevado a x; exponencial de x.
Son dos escrituras de la misma función. La base e vale aproximadamente 2,71828. Una calculadora científica permite evaluarla.
Ejemplo: e⁰ = 1; exp(−1) es aproximadamente 0,3679.
- √x · Raíz cuadrada
Se lee: raíz cuadrada de x.
Devuelve el número no negativo cuyo cuadrado es x. Se usa con x no negativo.
Ejemplo: La raíz de 9 es 3 porque 3 × 3 = 9.
¿Una medida conocida ayuda a describir la otra?
Medimos dos señales X e Y en la misma célula. Un modelo normal bivariante describe sus dos centros, sus dos dispersiones y la asociación lineal entre ellas, llamada correlación rho. Necesitamos suponer normalidad conjunta: dos histogramas normales por separado no la garantizan.
Supón medias treinta y setenta, desviaciones cinco y ocho y correlación 0,25. Observamos X = 40, diez por encima de su media. La media condicional de Y se desplaza: 70 + 0,25 × (8/5) × (40−30) = 74. Es el centro del grupo descrito por esa condición, no una predicción exacta.
Una campana sobre dos ejes
La normal bivariante no degenerada se especifica con dos medias, dos desviaciones típicas positivas y una correlación estrictamente entre menos uno y uno. Las marginales son normales. La correlación orienta y alarga las elipses de densidad; no desplaza las medias marginales ni cambia sus varianzas por sí sola.
Tener dos marginales normales no basta para afirmar normalidad conjunta. La estructura conjunta es una hipótesis adicional. Los casos de correlación uno o menos uno concentran el vector en una línea y no tienen la densidad bidimensional ordinaria que usamos aquí. Un modelo degenerado necesita tratarse por separado.
La deducción de las marginales de Tema 4, 4.6.4 (páginas 11 y 12), parte de zx=(x−μX)/σX y zy=(y−μY)/σY. Completar el cuadrado significa reescribir zx2−2ρzxzy+zy2 = (zy−ρzx)2+(1−ρ2)zx2. Al expandir el cuadrado, su término ρ2zx2 se compensa con el del segundo sumando. Por eso la densidad se separa en f(x,y)=[e−zx2/2/(σX√(2π))] · [e−u2/2/(σY√(2π(1−ρ2)))], donde u=(zy−ρzx)/√(1−ρ2). El segundo factor depende de x: esta separación todavía no es independencia.
Fijando x e integrando respecto a y, el primer factor es constante. El cambio de variable satisface dy=σY√(1−ρ2) du y lleva los límites a −∞ y +∞. La integral del segundo factor es [1/√(2π)] ∫−∞∞e−u2/2 du=1. Para justificar la integral gaussiana, llama I a esa integral sin el factor: I2 integra e−(u2+v2)/2 en el plano. Como el integrando es no negativo se pueden reunir las integrales; en coordenadas polares el elemento de área es r dr dθ. Queda I2=∫02π∫0∞e−r2/2r dr dθ=2π, pues la integral radial es uno. I es positivo, así que I=√(2π).
Con ello fX(x)=e−zx2/2/(σX√(2π)): X sigue N(μX,σX2). Intercambiando x e y, usamos (zx−ρzy)2+(1−ρ2)zy2 y dx=σX√(1−ρ2) dv; obtenemos fY(y)=e−zy2/2/(σY√(2π)). La correlación desaparece al marginalizar porque el factor integrado está normalizado. En el ejemplo 4.6.3, μX=100, σX=15, μY=50, σY=10 y ρ=0,5: X∼N(100,225), Y∼N(50,100). En el ejemplo estándar con ρ=0,5 de la página 11, integrar la conjunta en x=1 da e−1/2/√(2π)≈0,2419707; es una densidad marginal, no P(X=1).
Una campana sobre dos ejes
La normal bivariante no degenerada se especifica con dos medias, dos desviaciones típicas positivas y una correlación estrictamente entre menos uno y uno. Las marginales son normales. La correlación orienta y alarga las elipses de densidad; no desplaza las medias marginales ni cambia sus varianzas por sí sola.
Tener dos marginales normales no basta para afirmar normalidad conjunta. La estructura conjunta es una hipótesis adicional. Los casos de correlación uno o menos uno concentran el vector en una línea y no tienen la densidad bidimensional ordinaria que usamos aquí. Un modelo degenerado necesita tratarse por separado.
La deducción de las marginales de Tema 4, 4.6.4 (páginas 11 y 12), parte de zx=(x−μX)/σX y zy=(y−μY)/σY. Completar el cuadrado significa reescribir zx2−2ρzxzy+zy2 = (zy−ρzx)2+(1−ρ2)zx2. Al expandir el cuadrado, su término ρ2zx2 se compensa con el del segundo sumando. Por eso la densidad se separa en f(x,y)=[e−zx2/2/(σX√(2π))] · [e−u2/2/(σY√(2π(1−ρ2)))], donde u=(zy−ρzx)/√(1−ρ2). El segundo factor depende de x: esta separación todavía no es independencia.
Fijando x e integrando respecto a y, el primer factor es constante. El cambio de variable satisface dy=σY√(1−ρ2) du y lleva los límites a −∞ y +∞. La integral del segundo factor es [1/√(2π)] ∫−∞∞e−u2/2 du=1. Para justificar la integral gaussiana, llama I a esa integral sin el factor: I2 integra e−(u2+v2)/2 en el plano. Como el integrando es no negativo se pueden reunir las integrales; en coordenadas polares el elemento de área es r dr dθ. Queda I2=∫02π∫0∞e−r2/2r dr dθ=2π, pues la integral radial es uno. I es positivo, así que I=√(2π).
Con ello fX(x)=e−zx2/2/(σX√(2π)): X sigue N(μX,σX2). Intercambiando x e y, usamos (zx−ρzy)2+(1−ρ2)zy2 y dx=σX√(1−ρ2) dv; obtenemos fY(y)=e−zy2/2/(σY√(2π)). La correlación desaparece al marginalizar porque el factor integrado está normalizado. En el ejemplo 4.6.3, μX=100, σX=15, μY=50, σY=10 y ρ=0,5: X∼N(100,225), Y∼N(50,100). En el ejemplo estándar con ρ=0,5 de la página 11, integrar la conjunta en x=1 da e−1/2/√(2π)≈0,2419707; es una densidad marginal, no P(X=1).
Fórmulas del apartado
Se lee: La densidad normal de dos variables usa las dos desviaciones y la correlación ro. Zeta equis y zeta i griega son las dos medidas tipificadas: valor menos media entre desviación.
La densidad requiere desviaciones positivas y valor absoluto de rho menor que uno.
Hacer la cuenta y entender el resultado
La varianza condicional es 8² × (1−0,25²) = 60. Para tipificar necesitamos su raíz, aproximadamente 7,746, no sesenta. Si preguntamos por Y mayor que 82, calculamos (82−74)/7,746 ≈ 1,033 y consultamos la cola normal, aproximadamente 0,151.
La reducción de varianza depende del cuadrado de la correlación. Si rho es cero, este modelo conserva la distribución de Y al conocer X. Si rho es uno o menos uno, los pares quedan sobre una línea y no usamos la densidad bidimensional ordinaria. Condicionar no demuestra causalidad.
Conocer una medida cambia la otra
Al fijar X, la distribución condicional de Y sigue siendo normal. Su media se desplaza según la distancia de X a su media, el signo de la correlación y la razón de desviaciones típicas. Su varianza disminuye por un factor que depende del cuadrado de la correlación. No se multiplica la desviación típica por ese mismo factor sin tomar una raíz.
Una vez obtenidos la media y la desviación condicionales, una cola se resuelve mediante tipificación univariante. El resultado es una distribución de valores posibles, no una predicción exacta ni una relación causal. El ejemplo es original y usa parámetros distintos de la evaluación actual.
La factorización anterior da la deducción, no solo la receta: fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(x) cancela el primer factor. El segundo es una normal porque u=[y−μY−ρ(σY/σX)(x−μX)]/[σY√(1−ρ2)]. Se leen la media μY+ρ(σY/σX)(x−μX) y la varianza σY2(1−ρ2). Para X dado Y se intercambian los papeles: media μX+ρ(σX/σY)(y−μY) y varianza σX2(1−ρ2). Dividimos densidades con marginal positiva, no probabilidades puntuales, que aquí valen cero.
En el ejemplo 4.6.4 del PDF (página 13) se observa Y=60 con los parámetros 100,15,50,10 y 0,5 del ejemplo anterior. En unidades de cada indicador, E[X|Y=60]=100+0,5·(15/10)·(60−50)=107,5. El cociente 15/10 tiene unidades de X por unidad de Y; multiplicarlo por las diez unidades de Y de desplazamiento da 7,5 unidades de X, que sí pueden sumarse a 100. La varianza es Var(X|Y=60)=(1−0,52)·152=168,75 unidades de X al cuadrado, y la desviación 15√0,75≈12,99038 unidades de X. Por tanto X|Y=60∼N(107,5;168,75), con varianza como segundo parámetro, no 12,99038.
En R, mu_cond <- 100 + 0.5 * (15/10) * (60-50) y sd_cond <- 15 * sqrt(1-0.5^2) calculan centro y desviación. La cola P(X>120|Y=60), como aplicación adicional, pide pnorm(120, mean=mu_cond, sd=sd_cond, lower.tail=FALSE). En SciPy, con norm importada de scipy.stats, la misma consulta es norm.sf(120, loc=107.5, scale=168.75**0.5). Ambas equivalen a 1−Φ((120−107,5)/√168,75)≈0,16796. Se usa desviación en el software; la tipificación elimina unidades. Al ser ρ distinto de cero, la incertidumbre condicional baja respecto a 225 unidades cuadradas, pero no desaparece.
Fórmulas del apartado
Se lee: I griega dado equis igual a x sigue una normal. Su media es mu de i griega más ro por la razón de desviaciones por el alejamiento de x. Su varianza es sigma de i griega al cuadrado por uno menos ro al cuadrado.
El segundo parámetro es la varianza condicional; la desviación típica es su raíz.
Dos señales ficticias de laboratorio
Supón medias de X e Y de 30 y 70, desviaciones típicas de 5 y 8, y correlación 0,25. Al fijar X en 40, la media condicional de Y es 74 y su varianza es 60. Su desviación típica es aproximadamente 7,746. La probabilidad de Y superior a 82 usa una tipificación de aproximadamente 1,033 y una cola cercana a 0,151.
Desarrollo escrito del ejemplo
X e Y son dos intensidades de expresión medidas en la misma célula. Se supone una normal conjunta bivariante no degenerada como modelo ficticio.
- X ∼ N(μ,σ²), Φ(z) · Normal y acumulada estándar
Se lee: equis sigue una normal de media mu y varianza sigma al cuadrado; fi de zeta.
∼ significa sigue la distribución. Φ devuelve el área a la izquierda en una normal de media cero y desviación uno.
Ejemplo: Φ(0) = 0,5: la mitad de la campana queda a la izquierda de su centro.
- Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación
Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.
La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.
Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- z = (x−μ)/σ · Tipificar
Se lee: zeta es equis menos mu dividido entre sigma.
Resta la media y divide por la desviación típica. El resultado indica cuántas desviaciones separan el valor del centro.
Ejemplo: Con media 40 y desviación 4, el valor 48 está a dos desviaciones: z = 2.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
Datos y supuestos
- Medias μ_X=55, μ_Y=110; desviaciones σ_X=4, σ_Y=6, en unidades de señal; ρ=0,6.
- Se fija X=x=63; umbral de Y: c=116. El segundo parámetro de la notación normal es la varianza; al tipificar dividiremos por su raíz, la desviación típica.
- Se supone normalidad conjunta, no solo dos marginales normales; σ_X,σ_Y>0 y |ρ|<1.
- El soporte teórico es R²; condicionar en un valor continuo se define mediante densidades y no implica causalidad.
Calcula E[Y | X=x].
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula E[Y | X=x]. La normalidad conjunta permite obtener una normal condicional. Su media incorpora el desplazamiento de la medida conocida y su varianza se reduce por uno menos rho al cuadrado. Para tipificar usamos la raíz de esa varianza, no la varianza misma. Para este apartado: Desplaza μ_Y por ρ(σ_Y/σ_X)(x−μ_X).
Medir la desviación de X
x-μ_X=63-55=8; pendiente ρσ_Y/σ_X=0,9.
Desplazar la media marginal
110 + (0,6) × 6/4 × (8) = 117,2.
Comprobar e interpretar
El resultado es 117,2 unidades de señal. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Es una media de posibles señales Y al fijar X, no el valor exacto de cada célula.
Es una media de posibles señales Y al fijar X, no el valor exacto de cada célula.
Calcula la desviación típica de Y | X=x, no su varianza.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula la desviación típica de Y | X=x, no su varianza. La normalidad conjunta permite obtener una normal condicional. Su media incorpora el desplazamiento de la medida conocida y su varianza se reduce por uno menos rho al cuadrado. Para tipificar usamos la raíz de esa varianza, no la varianza misma. Para este apartado: Primero reduce la varianza por 1−ρ² y después toma su raíz.
Obtener la varianza condicional
6² × (1-(0,6)²) = 23,04.
Recuperar las unidades de señal
6 × √(1-(0,6)²) = 4,8.
Comprobar e interpretar
El resultado es 4,8 unidades de señal. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La reducción depende de ρ² y no del signo de ρ ni del valor particular de x.
La reducción depende de ρ² y no del signo de ρ ni del valor particular de x.
Conocer una medida cambia la otra
Al fijar X, la distribución condicional de Y sigue siendo normal. Su media se desplaza según la distancia de X a su media, el signo de la correlación y la razón de desviaciones típicas. Su varianza disminuye por un factor que depende del cuadrado de la correlación. No se multiplica la desviación típica por ese mismo factor sin tomar una raíz.
Una vez obtenidos la media y la desviación condicionales, una cola se resuelve mediante tipificación univariante. El resultado es una distribución de valores posibles, no una predicción exacta ni una relación causal. El ejemplo es original y usa parámetros distintos de la evaluación actual.
La factorización anterior da la deducción, no solo la receta: fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(x) cancela el primer factor. El segundo es una normal porque u=[y−μY−ρ(σY/σX)(x−μX)]/[σY√(1−ρ2)]. Se leen la media μY+ρ(σY/σX)(x−μX) y la varianza σY2(1−ρ2). Para X dado Y se intercambian los papeles: media μX+ρ(σX/σY)(y−μY) y varianza σX2(1−ρ2). Dividimos densidades con marginal positiva, no probabilidades puntuales, que aquí valen cero.
En el ejemplo 4.6.4 del PDF (página 13) se observa Y=60 con los parámetros 100,15,50,10 y 0,5 del ejemplo anterior. En unidades de cada indicador, E[X|Y=60]=100+0,5·(15/10)·(60−50)=107,5. El cociente 15/10 tiene unidades de X por unidad de Y; multiplicarlo por las diez unidades de Y de desplazamiento da 7,5 unidades de X, que sí pueden sumarse a 100. La varianza es Var(X|Y=60)=(1−0,52)·152=168,75 unidades de X al cuadrado, y la desviación 15√0,75≈12,99038 unidades de X. Por tanto X|Y=60∼N(107,5;168,75), con varianza como segundo parámetro, no 12,99038.
En R, mu_cond <- 100 + 0.5 * (15/10) * (60-50) y sd_cond <- 15 * sqrt(1-0.5^2) calculan centro y desviación. La cola P(X>120|Y=60), como aplicación adicional, pide pnorm(120, mean=mu_cond, sd=sd_cond, lower.tail=FALSE). En SciPy, con norm importada de scipy.stats, la misma consulta es norm.sf(120, loc=107.5, scale=168.75**0.5). Ambas equivalen a 1−Φ((120−107,5)/√168,75)≈0,16796. Se usa desviación en el software; la tipificación elimina unidades. Al ser ρ distinto de cero, la incertidumbre condicional baja respecto a 225 unidades cuadradas, pero no desaparece.
Desarrollo escrito del ejemplo
X e Y son dos intensidades de expresión medidas en la misma célula. Se supone una normal conjunta bivariante no degenerada como modelo ficticio.
- X ∼ N(μ,σ²), Φ(z) · Normal y acumulada estándar
Se lee: equis sigue una normal de media mu y varianza sigma al cuadrado; fi de zeta.
∼ significa sigue la distribución. Φ devuelve el área a la izquierda en una normal de media cero y desviación uno.
Ejemplo: Φ(0) = 0,5: la mitad de la campana queda a la izquierda de su centro.
- Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación
Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.
La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.
Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- z = (x−μ)/σ · Tipificar
Se lee: zeta es equis menos mu dividido entre sigma.
Resta la media y divide por la desviación típica. El resultado indica cuántas desviaciones separan el valor del centro.
Ejemplo: Con media 40 y desviación 4, el valor 48 está a dos desviaciones: z = 2.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
Datos y supuestos
- Medias μ_X=55, μ_Y=110; desviaciones σ_X=4, σ_Y=6, en unidades de señal; ρ=0,6.
- Se fija X=x=63; umbral de Y: c=116. El segundo parámetro de la notación normal es la varianza; al tipificar dividiremos por su raíz, la desviación típica.
- Se supone normalidad conjunta, no solo dos marginales normales; σ_X,σ_Y>0 y |ρ|<1.
- El soporte teórico es R²; condicionar en un valor continuo se define mediante densidades y no implica causalidad.
Calcula P(Y>c | X=x).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(Y>c | X=x). La normalidad conjunta permite obtener una normal condicional. Su media incorpora el desplazamiento de la medida conocida y su varianza se reduce por uno menos rho al cuadrado. Para tipificar usamos la raíz de esa varianza, no la varianza misma. Para este apartado: Usa la media y la desviación condicionales, no las marginales.
Identificar la normal del corte
Y | X=63 sigue N(117,2, 23,04), con el segundo parámetro como varianza.
Tipificar el umbral
z=(116-117,2)/4,8=-0,25.
Tipificar el umbral condicionado
Restamos la nueva media y dividimos por la nueva desviación: (116 − 117,2)/4,8 = -0,25.
Evaluar la cola correcta
La acumulada normal da el área a la izquierda: 0,4012937. La pregunta pide valores mayores, así que restamos de uno: 1 − 0,4012937 = 0,5987063.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,5987063 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. La probabilidad es condicional en este modelo conjunto; dos marginales normales solas no justifican esta fórmula.
La probabilidad es condicional en este modelo conjunto; dos marginales normales solas no justifican esta fórmula.