Masas discretas, indicadores y normalización
Apuntes, tema 2 · 2.6 a 2.6.3: indicadores, masas y probabilidades de intervalos; práctica 2.15Abrir el PDF en la página 5
Objetivos de la lección
- Construir una masa a partir de resultados agrupados.
- Usar indicadores para representar sucesos.
Apartado 1 de 3
Pesos sobre valores separados
Transcripción
Hola.
Un modelo permite cero, dos o cuatro brotes y les asigna pesos uno, tres y uno.
Queremos convertir esos pesos relativos en probabilidades sin cambiar cuál es más probable.
Los números de brotes y sus pesos ocupan papeles distintos en la tabla.
Para saber cuánto debemos repartir, reunimos los tres pesos: uno más tres más uno da cinco.
No sumamos cero, dos y cuatro, porque esos son recuentos de brotes; lo que necesitamos normalizar es el peso asociado a cada posibilidad.
Llamemos ce al factor que multiplicará todos los pesos.
Cinco veces ce debe completar uno, así que dividimos la unidad entre cinco y obtenemos un quinto.
Usar el mismo factor conserva las proporciones originales y garantiza el total requerido.
Al multiplicar cada peso por un quinto obtenemos dos décimas, seis décimas y dos décimas.
La posibilidad de dos brotes conserva el triple de peso que cada una de las otras, pero ahora el conjunto suma uno y puede interpretarse como probabilidad.
Pe sub equis de dos significa probabilidad de exactamente dos brotes: aquí seis décimas.
Si distintos resultados del experimento producen ese recuento, sumamos sus probabilidades en la misma fila.
La función de masa describe los valores de la variable, no la identidad de cada resultado original.
Revisamos dos condiciones: masas no negativas y suma total uno.
Aquí el soporte es cero, dos y cuatro, pero una variable discreta también puede tener infinitos valores numerables.
Fuera del soporte la masa es cero; si añadimos otro valor con peso positivo, habrá que normalizar de nuevo.
Palabras y símbolos de esta lección
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- p_X(x) · Masa de probabilidad
Se lee: pe sub equis de x.
Es la probabilidad de un valor exacto de una variable discreta, que toma valores separados.
Ejemplo: Si P(X = 2) = 0,3, la masa en dos brotes es 0,3.
- ∑ᵢ aᵢ · Sumatorio
Se lee: suma de a sub i.
La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.
Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.
- I_A · Indicador
Se lee: indicador de a.
Convierte una condición en un número: uno si se cumple y cero si no. No es una letra i que se multiplique por A.
Ejemplo: Germina: 1. No germina: 0. La suma cuenta germinaciones.
- A ∪ B, A ∩ B, Aᶜ, A ∖ B · Operaciones con sucesos
Se lee: a unión be; a intersección be; complemento de a; a menos be.
Unión significa al menos uno, incluido ambos. Intersección significa ambos. Complemento significa no A. A menos B significa A pero no B.
Ejemplo: Una célula con ambos marcadores pertenece a la unión y a la intersección.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
¿Qué probabilidad corresponde a cada valor de una tabla?
Una variable discreta toma valores separados: por ejemplo, cero, dos o cuatro brotes. Su masa es la probabilidad de un valor exacto. Si varias observaciones distintas producen dos brotes, todas contribuyen a la misma fila. No hace falta que los valores sean consecutivos.
Si los pesos de las tres filas son uno, tres y uno, el total de pesos es cinco. Dividimos cada peso por cinco: las probabilidades son 0,2, 0,6 y 0,2. Normalizar significa ajustar el total a uno. Las probabilidades negativas no son admisibles.
La probabilidad que vive en puntos
Una variable discreta tiene un recorrido finito o numerable. Su función de masa asigna a cada valor la probabilidad de obtenerlo. Si diferentes resultados elementales producen el mismo número, sus probabilidades se suman. Los valores de la variable no tienen por qué ser consecutivos ni estar igualmente separados.
Para que una propuesta sea una masa válida, cada entrada debe ser no negativa y la suma total debe ser uno. Una constante desconocida se obtiene imponiendo ese total. Verifica también el soporte declarado: una fórmula normalizada sobre cinco valores no está automáticamente normalizada si después admites un sexto.
En la suma de dados del Tema 2, 2.15.6 (páginas 20 y 21), fijar X=s obliga al segundo dado a valer s−a. Hay s−1 elecciones válidas del primero si s=2,...,7; a partir de ocho se pierden pares porque ninguna cara puede superar seis y quedan 13−s elecciones. Así, pX(s)=(s−1)/36 para enteros de 2 a 7 y pX(s)=(13−s)/36 para enteros de 8 a 12; es cero en cualquier otro valor, incluidos los no enteros. Las masas en orden son (1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)/36. Sus numeradores suman 36: la forma triangular resulta del recuento, no de suponer uniforme la suma.
Para el mínimo, M=k exige ambos dados al menos k, pero no ambos al menos k+1. Restamos esos cuadrados: pM(k)=[(7−k)2−(6−k)2]/36=(13−2k)/36 para k=1,...,6 y cero fuera. Las masas son (11,9,7,5,3,1)/36 y también suman uno. Al acumularlas recuperamos los escalones de su CDF. En barras, la suma sube hasta siete y baja simétricamente; el mínimo decrece desde uno. Una barra representa masa en un entero, no densidad entre barras.
Fórmulas del apartado
Se lee: Pe sub equis de x sub i es probabilidad de equis igual a ese valor. Cada masa es no negativa y la suma de todas las masas es uno.
Las masas son probabilidades puntuales y su suma sobre todo el soporte es uno.
Conteo con valores no consecutivos
Una variable toma valores 0, 2 y 4 con pesos 1, 3 y 1. La constante normalizadora es 1/5, así que las masas son 0,2, 0,6 y 0,2. La probabilidad de al menos dos vale 0,8; la de más de dos vale 0,2. El espacio entre valores posibles no recibe masa.
Desarrollo escrito del ejemplo
X es el número de colonias resistentes en una microplaca que solo puede producir 0, 1 o 2 colonias.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- p_X(x) · Masa de probabilidad
Se lee: pe sub equis de x.
Es la probabilidad de un valor exacto de una variable discreta, que toma valores separados.
Ejemplo: Si P(X = 2) = 0,3, la masa en dos brotes es 0,3.
- c, wᵢ · Constante y peso
Se lee: ce; uve doble sub i.
Un peso expresa una importancia relativa. La constante c multiplica todos los pesos por el mismo factor para que el total sea uno. El subíndice i identifica un peso.
Ejemplo: Pesos 2, 3 y 5: c = 1/10 y proporciones 0,2, 0,3 y 0,5.
- ∑ᵢ aᵢ · Sumatorio
Se lee: suma de a sub i.
La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.
Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
Datos y supuestos
- P(X=0)=c, P(X=1)=3c, P(X=2)=6c.
- Fuera de {0,1,2} la probabilidad es cero.
- Los tres resultados son excluyentes y cubren todos los casos.
- Los pesos son no negativos.
Calcula la constante c.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula la constante c. Un peso expresa importancia relativa, no una probabilidad todavía. Sumamos los pesos y dividimos cada uno por ese total para obtener probabilidades que suman uno. Una masa es la probabilidad de un valor exacto. Para este apartado: La suma de todas las masas debe ser uno.
Normalizar la masa
(1 + 3 + 6)c = 1; c = 1/10 = 0,1.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,1 constante de normalización. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Cada masa queda entre cero y uno.
Cada masa queda entre cero y uno.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Al menos dos brotes incluye dos y cuatro: 0,6 + 0,2 = 0,8. Más de dos incluye solo cuatro: 0,2. La diferencia no es una regla de calculadora: cambia qué filas estamos eligiendo. Fuera de los valores permitidos no hay masa.
Un indicador convierte una condición en cero o uno: uno si se cumple y cero si no. Multiplicar dos indicadores vale uno solo cuando se cumplen ambos. Para indicar al menos uno, sumamos los indicadores y restamos su producto; así el caso de ambos no termina valiendo dos.
Indicadores y frases de recuento
El indicador de un suceso vale uno cuando ocurre y cero cuando no. Permite convertir preguntas de conjuntos en cálculos numéricos. El producto de dos indicadores señala la intersección. Para la unión, la suma sola cuenta dos cuando ocurren ambos; hay que restar su producto. El indicador del complemento es uno menos el indicador original: si ocurre A vale cero, y si no ocurre A vale uno. El indicador del espacio completo vale siempre uno y el del vacío siempre cero. Así se obtienen las cuatro construcciones del ejercicio de indicadores del Tema 2.
Las probabilidades de intervalos discretos se obtienen sumando solo las masas de los valores incluidos. Al usar la acumulada, recuerda la diferencia entre menos de un entero y como máximo ese entero. Este cuidado es especialmente importante para probabilidades de al menos una aparición, que suelen ser más fáciles mediante el complemento de ninguna.
Fórmulas del apartado
Se lee: El indicador de ambos sucesos es el producto de sus indicadores. El de al menos uno es la suma de los indicadores menos su producto, para no contar ambos dos veces.
Los indicadores trasladan operaciones sobre conjuntos a operaciones numéricas sin duplicar la unión.
Ejemplo resuelto
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