Esperanza y funciones de una variable
Apuntes, tema 2 · 2.8 a 2.11.2 y 2.15.8 a 2.15.11: esperanza, propiedades y existenciaAbrir el PDF en la página 11
Objetivos de la lección
- Calcular una media ponderada por probabilidad.
- Distinguir la esperanza de una transformación de la transformación de una media.
Apartado 1 de 3
Un centro que no tiene que observarse
Transcripción
Hola.
Un campo tiene cero o cuatro células activadas, cada posibilidad con una mitad de probabilidad.
Buscaremos un centro del modelo, no una predicción para el próximo campo.
Equis representa el recuento y esos dos valores forman todo su soporte.
La esperanza es un promedio ponderado: cada valor aporta su tamaño multiplicado por la probabilidad con que aparece.
El valor cero tiene peso una mitad, pero cero por una mitad aporta cero al recuento promedio.
No significa que ese resultado tenga probabilidad cero.
El valor cuatro también tiene peso una mitad.
Cuatro por una mitad aporta dos al promedio: distribuimos su contribución entre todas las realizaciones, no solo entre las que tienen células activadas.
Por eso no ponemos cuatro entero en la suma.
Reunimos las aportaciones cero y dos y obtenemos esperanza dos.
La letra e expresa este promedio teórico bajo las probabilidades del modelo.
Con muchas observaciones independientes de este mismo reparto, el promedio observado se estabilizaría alrededor de dos, aunque los campos individuales sigan dando cero o cuatro.
Dos queda entre los valores posibles, pero no es uno de ellos: ningún campo de este modelo tiene exactamente dos células activadas.
Tampoco es la moda, el valor de mayor masa.
La esperanza resume un centro de equilibrio y no promete que ese centro aparezca en una realización.
En una variable absolutamente continua sustituimos las aportaciones de una tabla por franjas: valor equis por densidad efe sub equis, integrado sobre toda la recta.
La densidad es cero fuera del soporte.
Para obtener una esperanza finita exigimos que también sea finita la integral del valor absoluto por la densidad.
Palabras y símbolos de esta lección
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- f(x), g(x) · Función
Se lee: efe de x; ge de x.
Una función es una regla que transforma una entrada en una salida. Los paréntesis indican la entrada: f(x) no significa f multiplicado por x.
Ejemplo: Si g(x) = x², entonces g(3) = 9.
- ∑ᵢ aᵢ · Sumatorio
Se lee: suma de a sub i.
La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.
Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.
- ∫ₐᵇ f(x) dx · Integral definida
Se lee: integral entre a y b de efe de x respecto de x.
Acumula pequeñas contribuciones entre los límites a y b. Con una función no negativa calcula el área. dx indica qué variable recorre el intervalo; no es un factor numérico que haya que adivinar.
Ejemplo: Una altura constante 0,5 durante 0,8 minutos aporta un área de 0,4.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
- p_X(x) · Masa de probabilidad
Se lee: pe sub equis de x.
Es la probabilidad de un valor exacto de una variable discreta, que toma valores separados.
Ejemplo: Si P(X = 2) = 0,3, la masa en dos brotes es 0,3.
¿Cómo resumimos resultados que no son igual de probables?
Un campo tiene cero células activadas con probabilidad 0,5 o cuatro con probabilidad 0,5. Para hallar la media del modelo multiplicamos cada valor por su probabilidad y sumamos: 0 × 0,5 + 4 × 0,5 = 2. Esta media también se llama esperanza.
Nunca aparecen exactamente dos células en este modelo, pero dos describe su centro. No es una promesa para el siguiente campo ni el valor más frecuente. Ponderar significa dar a cada resultado el peso de su probabilidad, en lugar de tratar todas las filas por igual.
Un centro de equilibrio, no una promesa
La esperanza pondera cada valor por su probabilidad. Puede ser un número que la variable nunca toma, como un número no entero de colonias. Resume el centro del modelo, pero no es el resultado que necesariamente aparecerá en el siguiente experimento ni el valor más frecuente. Sin especificar una familia, conocer media y varianza no determina la distribución: modelos de formas distintas pueden compartir ambos resúmenes. Solo dentro de una familia declarada se puede comprobar si esos números identifican sus parámetros.
En una variable continua, los pesos se representan mediante densidad y la suma se convierte en integral. Para una esperanza finita bien definida debe existir integrabilidad absoluta. Con soportes infinitos, las colas importan: una variable no negativa puede tener esperanza infinita, y una variable con colas a ambos lados puede carecer de esperanza si ambas contribuciones divergen.
Los ejemplos 2.15.10 y 2.15.11 del Tema 2 (página 23) distinguen recorrido infinito de esperanza infinita. Sea T el número de tiradas independientes de dos dados hasta el primer doble seis, contando la tirada ganadora. Aquí p=1/36, q=35/36 y T toma 1,2,3,...: P(T=k)=qk−1p. Para k=1,2,3 obtenemos 1/36, 35/362 y 352/363. La suma de masas es p/(1−q)=1 y P(T>n)=qn tiende a cero: termina casi seguramente.
Para calcular su media usamos la serie geométrica Σk≥1qk=q/(1−q). Dentro de |q|<1 se puede derivar término a término: Σk≥1kqk−1=1/(1−q)2. Multiplicando por p resulta E[T]=p/(1−q)2=1/p=36 tiradas. En esa derivación p se mantiene como factor y se sustituye q=1−p al final. Hay infinitos tiempos posibles, pero la cola decae suficientemente deprisa para que la media sea finita. No significa que el doble seis deba llegar antes de la tirada 36.
Ahora sea N la tirada en que aparece por primera vez un número par al lanzar un solo dado regular de forma independiente, y G=2N el premio en unidades monetarias. Cada ensayo acierta con probabilidad 1/2, por lo que P(G=2n)=2−n para n≥1; estas masas suman uno y el juego también termina casi seguramente. Sin embargo, E[G]=Σn≥12n2−n=Σn≥11=+∞. Cada uno de los primeros m términos aporta uno y la suma parcial es m, sin cota. Para un premio limitado a 2m, E[min(G,2m)]=m+1: los n≤m aportan m y la cola n>m aporta uno. Ningún presupuesto finito reproduce el premio ilimitado.
La distinción de existencia es esencial. Escribe X+=max(X,0) y X−=max(−X,0). Si ambas esperanzas son finitas, E[X] es su diferencia finita; si solo la positiva es infinita, E[X]=+∞ en sentido extendido (y si solo la negativa es infinita, E[X]=−∞). Si ambas son infinitas no existe esa diferencia. El premio G es no negativo: su esperanza diverge a +infinito, no es una resta indeterminada. En la Cauchy estándar, en cambio, ∫0Ax/[π(1+x2)] dx = log(1+A2)/(2π) crece sin límite, y la cola negativa aporta el mismo infinito en valor absoluto. E[C] no existe, ni como +∞ ni como −∞; el valor principal simétrico cero no cancela legítimamente esas colas.
Células activadas por campo
Un campo tiene cero o cuatro células activadas con probabilidad 0,5 cada uno. La esperanza es dos, aunque nunca aparezcan exactamente dos. La esperanza del cuadrado es ocho, mientras que el cuadrado de la esperanza es cuatro. Si cada célula aporta tres unidades de señal y hay una base de una unidad, la señal esperada es siete.
Desarrollo escrito del ejemplo
X es el número de colonias resistentes en una microplaca que solo puede producir 0, 1 o 2 colonias.
- X, x, xᵢ · Variable y valor
Se lee: equis; equis minúscula; equis sub i.
X nombra qué medimos antes de observar. x representa un valor concreto o un umbral. El subíndice identifica una observación o un valor de una lista.
Ejemplo: X es el número de brotes; x = 2 es un resultado posible.
- p_X(x) · Masa de probabilidad
Se lee: pe sub equis de x.
Es la probabilidad de un valor exacto de una variable discreta, que toma valores separados.
Ejemplo: Si P(X = 2) = 0,3, la masa en dos brotes es 0,3.
- c, wᵢ · Constante y peso
Se lee: ce; uve doble sub i.
Un peso expresa una importancia relativa. La constante c multiplica todos los pesos por el mismo factor para que el total sea uno. El subíndice i identifica un peso.
Ejemplo: Pesos 2, 3 y 5: c = 1/10 y proporciones 0,2, 0,3 y 0,5.
- ∑ᵢ aᵢ · Sumatorio
Se lee: suma de a sub i.
La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.
Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
Datos y supuestos
- P(X=0)=c, P(X=1)=3c, P(X=2)=6c.
- Fuera de {0,1,2} la probabilidad es cero.
- Los tres resultados son excluyentes y cubren todos los casos.
- Los pesos son no negativos.
Calcula la constante c.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula la constante c. Un peso expresa importancia relativa, no una probabilidad todavía. Sumamos los pesos y dividimos cada uno por ese total para obtener probabilidades que suman uno. Una masa es la probabilidad de un valor exacto. Para este apartado: La suma de todas las masas debe ser uno.
Normalizar la masa
(1 + 3 + 6)c = 1; c = 1/10 = 0,1.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,1 constante de normalización. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Cada masa queda entre cero y uno.
Cada masa queda entre cero y uno.
Calcula E[X].
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula E[X]. Un peso expresa importancia relativa, no una probabilidad todavía. Sumamos los pesos y dividimos cada uno por ese total para obtener probabilidades que suman uno. Una masa es la probabilidad de un valor exacto. Para este apartado: Pondera cada valor por su probabilidad, no por su peso sin normalizar.
Promediar con los pesos normalizados
(0 × 1 + 1 × 3 + 2 × 6)/10 = 1,5.
Comprobar e interpretar
El resultado es 1,5 número de colonias. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La esperanza puede no ser entera aunque cada observación sí lo sea.
La esperanza puede no ser entera aunque cada observación sí lo sea.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Si interesa el cuadrado del número, primero elevamos cada valor al cuadrado: cero y dieciséis. Después promediamos: 0 × 0,5 + 16 × 0,5 = 8. Elevar la media al cuadrado daría 2² = 4. Son dos órdenes de operaciones y no tienen por qué coincidir.
En una tabla sumamos valor por probabilidad; en un modelo continuo integramos valor por densidad. Sumar cantidades permite sumar sus medias cuando son finitas, incluso si dependen. Si los valores posibles no tienen límite, hay que comprobar que las colas no impidan definir una media finita.
Transformar antes de promediar
Para obtener la esperanza de una función de la variable, puedes ponderar directamente los valores transformados usando la distribución original. No necesitas reconstruir siempre toda la distribución transformada. Pero transformar la media y promediar la transformación no suelen coincidir: elevar al cuadrado o tomar un logaritmo cambia la relación.
La esperanza es lineal incluso para variables dependientes, siempre que las esperanzas utilizadas existan. La esperanza de un producto, en cambio, no se separa en general. La independencia proporciona esa separación bajo las condiciones de integrabilidad. Esta diferencia será clave al estudiar covarianzas.
Con la masa triangular de la suma X (Tema 2, 2.15.8, página 22), E[X]=[2·1+3·2+4·3+5·4+6·5+7·6+8·5+9·4+10·3+11·2+12·1]/36=252/36=7. También cada dado tiene media (1+2+3+4+5+6)/6=7/2 y la linealidad da 7/2+7/2=7. Esta igualdad de medias no necesita independencia, aunque sí la hemos supuesto para construir la masa triangular. Para el mínimo, el ejercicio propuesto se completa con E[M]=(1·11+2·9+3·7+4·5+5·3+6·1)/36=91/36, aproximadamente 2,5278 puntos.
En el juego de 2.15.9 (páginas 22 y 23), Y paga +100 € si X≤6 y −100 € si X>6. Las masas favorables suman (1+2+3+4+5)/36=15/36; las restantes suman 21/36. Por tanto, E[Y]=100·15/36−100·21/36=−100/6, aproximadamente −16,67 € por jugada. Otra forma es escribir Y=200 I{X≤6}−100 y aplicar E[I]=P. No es una pérdida segura en una partida: es un balance esperado desfavorable. Con dos premios opuestos de igual magnitud el juego sería equitativo si ganar tuviera probabilidad 1/2. Si se conserva la pérdida de 100 €, haría falta un premio ganador de 140 €, pues 140·15/36−100·21/36=0. Si se juega pagando una entrada adicional, esta debe restarse del balance; no está incluida en el enunciado original.
Para comprobar la media de un dado con otras probabilidades, en R se usa sum((1:6) * probabilidades); en Python, sum(valor * prob for valor, prob in zip(range(1, 7), probabilidades, strict=True)). La lista debe tener seis probabilidades no negativas que sumen uno. No basta con escribir seis pesos sin normalizarlos: el cálculo pretende sumar valor por masa, no solo ejecutar una instrucción.
Fórmulas del apartado
Se lee: Esperanza de ge de equis: transformamos cada valor con ge y ponderamos por su probabilidad. Sumamos en el caso discreto e integramos con densidad en el continuo.
Se transforma cada valor y después se pondera, cuando la esperanza está definida.
Transformar antes de promediar
Para obtener la esperanza de una función de la variable, puedes ponderar directamente los valores transformados usando la distribución original. No necesitas reconstruir siempre toda la distribución transformada. Pero transformar la media y promediar la transformación no suelen coincidir: elevar al cuadrado o tomar un logaritmo cambia la relación.
La esperanza es lineal incluso para variables dependientes, siempre que las esperanzas utilizadas existan. La esperanza de un producto, en cambio, no se separa en general. La independencia proporciona esa separación bajo las condiciones de integrabilidad. Esta diferencia será clave al estudiar covarianzas.
Con la masa triangular de la suma X (Tema 2, 2.15.8, página 22), E[X]=[2·1+3·2+4·3+5·4+6·5+7·6+8·5+9·4+10·3+11·2+12·1]/36=252/36=7. También cada dado tiene media (1+2+3+4+5+6)/6=7/2 y la linealidad da 7/2+7/2=7. Esta igualdad de medias no necesita independencia, aunque sí la hemos supuesto para construir la masa triangular. Para el mínimo, el ejercicio propuesto se completa con E[M]=(1·11+2·9+3·7+4·5+5·3+6·1)/36=91/36, aproximadamente 2,5278 puntos.
En el juego de 2.15.9 (páginas 22 y 23), Y paga +100 € si X≤6 y −100 € si X>6. Las masas favorables suman (1+2+3+4+5)/36=15/36; las restantes suman 21/36. Por tanto, E[Y]=100·15/36−100·21/36=−100/6, aproximadamente −16,67 € por jugada. Otra forma es escribir Y=200 I{X≤6}−100 y aplicar E[I]=P. No es una pérdida segura en una partida: es un balance esperado desfavorable. Con dos premios opuestos de igual magnitud el juego sería equitativo si ganar tuviera probabilidad 1/2. Si se conserva la pérdida de 100 €, haría falta un premio ganador de 140 €, pues 140·15/36−100·21/36=0. Si se juega pagando una entrada adicional, esta debe restarse del balance; no está incluida en el enunciado original.
Para comprobar la media de un dado con otras probabilidades, en R se usa sum((1:6) * probabilidades); en Python, sum(valor * prob for valor, prob in zip(range(1, 7), probabilidades, strict=True)). La lista debe tener seis probabilidades no negativas que sumen uno. No basta con escribir seis pesos sin normalizarlos: el cálculo pretende sumar valor por masa, no solo ejecutar una instrucción.
Un centro de equilibrio, no una promesa
La esperanza pondera cada valor por su probabilidad. Puede ser un número que la variable nunca toma, como un número no entero de colonias. Resume el centro del modelo, pero no es el resultado que necesariamente aparecerá en el siguiente experimento ni el valor más frecuente. Sin especificar una familia, conocer media y varianza no determina la distribución: modelos de formas distintas pueden compartir ambos resúmenes. Solo dentro de una familia declarada se puede comprobar si esos números identifican sus parámetros.
En una variable continua, los pesos se representan mediante densidad y la suma se convierte en integral. Para una esperanza finita bien definida debe existir integrabilidad absoluta. Con soportes infinitos, las colas importan: una variable no negativa puede tener esperanza infinita, y una variable con colas a ambos lados puede carecer de esperanza si ambas contribuciones divergen.
Los ejemplos 2.15.10 y 2.15.11 del Tema 2 (página 23) distinguen recorrido infinito de esperanza infinita. Sea T el número de tiradas independientes de dos dados hasta el primer doble seis, contando la tirada ganadora. Aquí p=1/36, q=35/36 y T toma 1,2,3,...: P(T=k)=qk−1p. Para k=1,2,3 obtenemos 1/36, 35/362 y 352/363. La suma de masas es p/(1−q)=1 y P(T>n)=qn tiende a cero: termina casi seguramente.
Para calcular su media usamos la serie geométrica Σk≥1qk=q/(1−q). Dentro de |q|<1 se puede derivar término a término: Σk≥1kqk−1=1/(1−q)2. Multiplicando por p resulta E[T]=p/(1−q)2=1/p=36 tiradas. En esa derivación p se mantiene como factor y se sustituye q=1−p al final. Hay infinitos tiempos posibles, pero la cola decae suficientemente deprisa para que la media sea finita. No significa que el doble seis deba llegar antes de la tirada 36.
Ahora sea N la tirada en que aparece por primera vez un número par al lanzar un solo dado regular de forma independiente, y G=2N el premio en unidades monetarias. Cada ensayo acierta con probabilidad 1/2, por lo que P(G=2n)=2−n para n≥1; estas masas suman uno y el juego también termina casi seguramente. Sin embargo, E[G]=Σn≥12n2−n=Σn≥11=+∞. Cada uno de los primeros m términos aporta uno y la suma parcial es m, sin cota. Para un premio limitado a 2m, E[min(G,2m)]=m+1: los n≤m aportan m y la cola n>m aporta uno. Ningún presupuesto finito reproduce el premio ilimitado.
La distinción de existencia es esencial. Escribe X+=max(X,0) y X−=max(−X,0). Si ambas esperanzas son finitas, E[X] es su diferencia finita; si solo la positiva es infinita, E[X]=+∞ en sentido extendido (y si solo la negativa es infinita, E[X]=−∞). Si ambas son infinitas no existe esa diferencia. El premio G es no negativo: su esperanza diverge a +infinito, no es una resta indeterminada. En la Cauchy estándar, en cambio, ∫0Ax/[π(1+x2)] dx = log(1+A2)/(2π) crece sin límite, y la cola negativa aporta el mismo infinito en valor absoluto. E[C] no existe, ni como +∞ ni como −∞; el valor principal simétrico cero no cancela legítimamente esas colas.
Fórmulas del apartado
Se lee: La esperanza de a por equis más be por i griega más ce es a por la esperanza de equis más be por la de i griega más ce. Los coeficientes son constantes.
La linealidad no exige independencia; sí exige que las esperanzas sean utilizables.
Ejemplo resuelto
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