Covarianza, correlación y matrices
Apuntes, tema 4 · 4.8 a 4.8.5.1: vector de medias, covarianza, correlación y matrices; ejercicio U3 6Abrir el PDF en la página 14
Objetivos de la lección
- Interpretar variación compartida y su dependencia de las unidades.
- Construir matrices de covarianzas y correlaciones.
Apartado 1 de 3
Promediar productos con signo
Transcripción
Hola.
Para resumir si dos lecturas se alejan juntas de sus centros, mediremos sus desviaciones respecto de sus propias medias.
Multiplicarlas conserva un signo positivo si ambas se desvían en el mismo sentido y negativo si lo hacen en sentidos opuestos.
La covarianza promedia esos productos, suponiendo segundos momentos finitos.
Tomemos un modelo con dos parejas equiprobables: cero, uno y uno, tres.
La media de equis es una mitad y la de i griega dos.
En la primera pareja las desviaciones son menos una mitad y menos uno; en la segunda, una mitad y uno.
Centramos cada medida respecto de su media, no respecto de la de la otra.
Menos una mitad por menos uno da una mitad, y una mitad por uno también da una mitad.
Ponderamos cada producto por su probabilidad una mitad y los reunimos: la covarianza vale una mitad.
Las dos parejas aportan signo positivo porque están juntas por debajo o juntas por encima de sus centros.
Expandir el producto de las desviaciones y usar linealidad da otra cuenta: esperanza de equis por i griega menos producto de sus esperanzas.
Aquí el producto vale cero o tres y su esperanza es uno coma cinco; el producto de medias es una mitad por dos, uno.
Restarlos recupera cero coma cinco.
El signo resume si los productos centrados son positivos o negativos en promedio; no asegura que todas las parejas sigan ese patrón.
La unidad es el producto de las unidades de las dos lecturas y su magnitud depende de la escala.
No es una probabilidad ni permite concluir causalidad; para comparar intensidad lineal sin unidades necesitaremos normalizar.
Palabras y símbolos de esta lección
- Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación
Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.
La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.
Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
- μ⃗, Σ, Σᵢⱼ, aᵀ · Vectores y matrices
Se lee: vector mu; sigma mayúscula; sigma sub i jota; a transpuesta.
Un vector es una lista ordenada; una matriz, una tabla. i identifica la fila y j la columna. Transponer convierte una columna en fila o intercambia filas y columnas.
Ejemplo: En una matriz de covarianzas, las posiciones (1,1) y (2,2) son varianzas.
- D⁻¹, diag(σ₁,…,σ_d) · Matriz diagonal e inversa
Se lee: de inversa; diagonal de las sigmas.
D coloca las desviaciones en la diagonal y ceros fuera. Su inversa coloca sus recíprocos; requiere desviaciones positivas. Así se divide cada covarianza por las dos desviaciones correspondientes.
Ejemplo: Una entrada 6 con desviaciones 3 y 4 pasa a correlación 6/(3 × 4) = 0,5.
¿Las dos medidas suelen subir y bajar juntas?
La covarianza compara las desviaciones de cada medida respecto a su propia media: restamos la media a cada valor y conservamos el signo. Si las dos desviaciones suelen tener el mismo signo, el producto es positivo; si suelen oponerse, es negativo. Promediamos esos productos. El resultado describe variación compartida y depende de las unidades.
Si las varianzas son nueve y dieciséis, las desviaciones son tres y cuatro. Con covarianza seis, la correlación es 6/(3 × 4) = 0,5. Dividir por las desviaciones elimina las unidades. La correlación resume asociación lineal, no cualquier relación ni una causa.
Desviarse juntas o en sentidos opuestos
La covarianza promedia el producto de desviaciones respecto a las dos medias. Es positiva cuando las desviaciones tienden a tener el mismo signo y negativa cuando tienden a oponerse. Su magnitud depende de las unidades: convertir una medida a otra escala cambia la covarianza aunque la relación biológica no cambie.
La correlación divide por el producto de desviaciones típicas positivas, elimina las unidades y queda entre menos uno y uno. Resume asociación lineal, no toda forma de dependencia ni causalidad. Si una variable es constante, su desviación es cero y la correlación no está definida, aunque algunas covarianzas sí lo estén.
Desarrollo escrito del ejemplo
X e Y son indicadores 0/1 de dos marcadores moleculares medidos en el mismo organismo.
- Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación
Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.
La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.
Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
Datos y supuestos
- Tabla de probabilidades, filas X=0,1 y columnas Y=0,1: [0,3, 0,2]; [0,2, 0,3].
- Ambas marginales tienen probabilidad 0,5 de valer uno.
- La tabla es una distribución conjunta: entradas no negativas y suma uno.
- Los indicadores no se presuponen independientes.
Calcula Cov(X,Y).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula Cov(X,Y). La covarianza compara variación compartida: calculamos la esperanza del producto y restamos el producto de medias. La correlación divide además por las dos desviaciones, siempre que sean positivas; ninguna de las dos implica causalidad. Para este apartado: XY solo vale uno en la celda X=1,Y=1.
Obtener los momentos
E[X]=E[Y]=0,5 y E[XY]=P(X=1,Y=1)=0,3.
Centrar el producto
0,3 - 0,5 × 0,5 = 0,05.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,05 producto de unidades de los indicadores. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Los valores altos tienden a coincidir más de lo esperado bajo independencia; no prueba causalidad.
Los valores altos tienden a coincidir más de lo esperado bajo independencia; no prueba causalidad.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Una matriz de covarianzas es una tabla ordenada: nueve y dieciséis en la diagonal, seis en las otras dos posiciones. El orden de filas y columnas debe corresponder al de las variables. Si duplicamos Y, su varianza pasa a sesenta y cuatro y la covarianza a doce, pero la correlación sigue en 0,5.
La matriz de correlaciones hace esa división entrada por entrada y tiene unos en la diagonal si todas las desviaciones son positivas. Si una variable es constante, no podemos definir su correlación mediante una división por cero. No toda tabla simétrica de números es una matriz de covarianzas válida: ninguna combinación de medidas puede tener varianza negativa.
Desviarse juntas o en sentidos opuestos
La covarianza promedia el producto de desviaciones respecto a las dos medias. Es positiva cuando las desviaciones tienden a tener el mismo signo y negativa cuando tienden a oponerse. Su magnitud depende de las unidades: convertir una medida a otra escala cambia la covarianza aunque la relación biológica no cambie.
La correlación divide por el producto de desviaciones típicas positivas, elimina las unidades y queda entre menos uno y uno. Resume asociación lineal, no toda forma de dependencia ni causalidad. Si una variable es constante, su desviación es cero y la correlación no está definida, aunque algunas covarianzas sí lo estén.
Fórmulas del apartado
Se lee: Covarianza de equis e i griega: esperanza del producto menos producto de las esperanzas. Ro es esa covarianza dividida entre las dos desviaciones típicas.
Se requieren los momentos adecuados y desviaciones positivas para definir la correlación.
Dos medidas ficticias en escalas distintas
Las varianzas de X e Y son 9 y 16 y su covarianza es 6. La correlación vale . La matriz de covarianzas tiene diagonal 9 y 16 y entradas externas 6. Si duplicamos Y, su varianza pasa a 64 y la covarianza a 12, pero la correlación permanece 0,5.
Desarrollo escrito del ejemplo
X e Y son indicadores 0/1 de dos marcadores moleculares medidos en el mismo organismo.
- Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación
Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.
La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.
Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
Datos y supuestos
- Tabla de probabilidades, filas X=0,1 y columnas Y=0,1: [0,3, 0,2]; [0,2, 0,3].
- Ambas marginales tienen probabilidad 0,5 de valer uno.
- La tabla es una distribución conjunta: entradas no negativas y suma uno.
- Los indicadores no se presuponen independientes.
Calcula la correlación ρ(X,Y).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula la correlación ρ(X,Y). La covarianza compara variación compartida: calculamos la esperanza del producto y restamos el producto de medias. La correlación divide además por las dos desviaciones, siempre que sean positivas; ninguna de las dos implica causalidad. Para este apartado: Cada indicador tiene varianza 0,5(1−0,5)=0,25.
Calcular las desviaciones
σX=σY=√0,25=0,5; el producto de desviaciones es 0,25.
Normalizar la covarianza
0,05/0,25 = 0,2.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,2 correlación sin unidades. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La correlación mide asociación lineal y debe estar entre −1 y 1.
La correlación mide asociación lineal y debe estar entre −1 y 1.
Organizar muchas medidas
El vector de medias reúne los centros por componente. La matriz de covarianzas tiene varianzas en la diagonal y covarianzas simétricas fuera de ella. Para variables con varianzas finitas, es semidefinida positiva: cualquier combinación lineal debe tener varianza no negativa. Por tanto, no toda matriz simétrica con diagonal positiva es admisible.
La matriz de correlaciones normaliza cada entrada con sus desviaciones típicas y tiene diagonal uno cuando todas son positivas. La independencia implica covarianza cero bajo momentos finitos, pero el recíproco no vale en general. Un ejemplo determinista no lineal puede tener correlación cero; la normal conjunta constituye una excepción importante que estudiaremos sin generalizarla.
Fórmulas del apartado
Se lee: La entrada i jota de sigma mayúscula es la covarianza de las componentes i y jota. De coloca las desviaciones en una diagonal. Multiplicar por su inversa a ambos lados divide cada entrada por las dos desviaciones correspondientes.
La normalización convierte covarianzas en correlaciones cuando D es invertible.
Ejemplo resuelto
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