Densidades conjuntas y distribuciones condicionales
Apuntes, tema 4 · 4.5 y 4.6 a 4.6.3: condicionales, densidad conjunta y regiones; ejercicios U3 4 y 5Abrir el PDF en la página 9
Objetivos de la lección
- Normalizar una densidad sobre una región.
- Definir condicionamiento continuo sin dividir por una probabilidad puntual nula.
Apartado 1 de 3
La probabilidad es volumen sobre una región
Transcripción
Hola, el triángulo reúne los repartos de dos recursos positivos, equis e i griega, cuya suma no puede superar la capacidad uno de los cultivos.
Suponemos altura de densidad constante ce sobre ese triángulo y cero fuera.
Para convertir esa superficie en un modelo de probabilidad debemos hacer que su volumen total sea uno.
El triángulo tiene base uno y altura uno, así que su área es una mitad.
Con densidad constante, el volumen es área por altura ce: ce entre dos.
Igualamos ese volumen a uno porque el soporte contiene todos los resultados posibles, no porque ce deba ser una probabilidad.
Multiplicar ambos lados por dos da ce dos.
Una densidad conjunta puede tener altura mayor que uno: tiene unidades inversas del producto de las unidades de ambos recursos.
Al integrarla sobre un área se cancelan las unidades y obtenemos probabilidad; el valor en una pareja exacta no es su probabilidad.
Preguntemos ahora por equis más i griega como máximo una mitad.
La región es otro triángulo, contenido en el soporte, con base y altura una mitad.
Su área es base por altura dividido entre dos: una mitad al cuadrado entre dos da un octavo.
Aún es área geométrica, no probabilidad.
Sobre ese triángulo menor la densidad sigue siendo dos.
Multiplicamos dos por el área un octavo y resulta un cuarto de probabilidad.
El valor tiene sentido: reducir ambas longitudes a la mitad reduce el área a la cuarta parte, y la densidad no ha cambiado.
En general integramos la densidad conjunta sobre la región erre que describe el suceso.
Si la región incluye puntos fuera del soporte, su densidad es cero y no aportan volumen.
La integral doble suma contribuciones de pequeñas áreas; no exige independencia y no permite completar el triángulo con partes del rectángulo exterior.
Condicionar recorta el soporte y obliga a normalizar
Dos cantidades no negativas X e Y comparten un máximo de 2 unidades y tienen densidad conjunta constante en ese triángulo. Si conocemos X=0,5, ¿qué valores puede tomar Y y qué parte supera 0,8?
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El corte deja a Y entre 0 y 1,5. Su densidad condicional es 1/1,5 para que el área del corte sea 1. El tramo por encima de 0,8 mide 0,7, y la probabilidad condicional es 0,7/1,5, aproximadamente 0,467. Normalizamos con densidades: no dividimos por P(X=0,5), que vale cero en este modelo continuo.
Palabras y símbolos de esta lección
- p_{X,Y}(x,y), f_{X,Y}(x,y) · Distribución conjunta
Se lee: masa conjunta de equis e i griega; densidad conjunta de equis e i griega.
Describe dos medidas del mismo resultado. Una coma entre condiciones de P significa que se cumplen ambas, no una alternativa.
Ejemplo: P(X = 1, Y = 0) pide X igual a uno e Y igual a cero.
- p_X(x), f_X(x) · Distribución marginal
Se lee: masa marginal de equis; densidad marginal de equis.
Describe una sola medida reuniendo todos los valores de la otra. Se suma o integra, sin fijar la otra medida.
Ejemplo: Para contar plantas con marcador verde sumamos las que tienen rojo y las que no.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- ∫∫_R g(x,y) dy dx · Integral doble
Se lee: integral doble sobre la región erre, primero respecto de i griega y después de equis.
Suma sobre una región de dos coordenadas. El orden escrito dy dx pide recorrer y para cada x y después recorrer x.
Ejemplo: Si x + y ≤ 1 y ambas son no negativas, para x = 0,3 queda 0 ≤ y ≤ 0,7.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
¿Qué cambia cuando ya conocemos una de las medidas?
Dos cultivos comparten una unidad de recurso. Los repartos posibles forman el triángulo x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1. Su área es medio; una densidad conjunta constante dos hace que el volumen, densidad por área, sea uno. Una región dentro del triángulo recibe probabilidad según su área.
Si sabemos que X vale 0,2, Y solo puede estar entre cero y 0,8. Hemos pasado de toda la región a un corte. Para que la distribución de Y en ese corte tenga área uno, su densidad debe ser 1/0,8 = 1,25. No hemos calculado una probabilidad mayor que uno: es una altura por unidad.
Probabilidad en una región
Una densidad conjunta no negativa tiene volumen total uno bajo su superficie. La probabilidad de una región es la integral doble sobre esa región. La superficie tiene unidades inversas al producto de las unidades de las dos variables, mientras que la integral de probabilidad no tiene unidades.
Antes de integrar, intersecta el suceso preguntado con el soporte del modelo. Una restricción sobre la suma de concentraciones puede producir un triángulo; una restricción sobre una razón, una región entre líneas. Incluir zonas fuera del soporte equivale a asignar probabilidad a combinaciones que el modelo prohíbe.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad de que el par equis e i griega esté en la región erre: integral doble de la densidad conjunta sobre esa región. El volumen total bajo la densidad es uno.
La región R se limita al soporte al integrar una densidad conjunta.
Desarrollo escrito del ejemplo
X e Y son miligramos de nutriente asignados a dos microcultivos; puede quedar una parte sin asignar. El reparto se modeliza uniformemente sobre un triángulo.
- ∫∫_R g(x,y) dy dx · Integral doble
Se lee: integral doble sobre la región erre, primero respecto de i griega y después de equis.
Suma sobre una región de dos coordenadas. El orden escrito dy dx pide recorrer y para cada x y después recorrer x.
Ejemplo: Si x + y ≤ 1 y ambas son no negativas, para x = 0,3 queda 0 ≤ y ≤ 0,7.
- p_{X,Y}(x,y), f_{X,Y}(x,y) · Distribución conjunta
Se lee: masa conjunta de equis e i griega; densidad conjunta de equis e i griega.
Describe dos medidas del mismo resultado. Una coma entre condiciones de P significa que se cumplen ambas, no una alternativa.
Ejemplo: P(X = 1, Y = 0) pide X igual a uno e Y igual a cero.
- p_X(x), f_X(x) · Distribución marginal
Se lee: masa marginal de equis; densidad marginal de equis.
Describe una sola medida reuniendo todos los valores de la otra. Se suma o integra, sin fijar la otra medida.
Ejemplo: Para contar plantas con marcador verde sumamos las que tienen rojo y las que no.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
Datos y supuestos
- Soporte: x≥0, y≥0, x+y≤a=5 mg; densidad conjunta f(x,y)=c dentro y cero fuera.
- Se fija x=2 mg; b=2,5 mg para el evento X+Y≤b; d=1,25 mg para el corte Y>d.
- Uniforme sobre el área triangular, no sobre el cuadrado [0,a]²; X e Y no son independientes.
- 0<x<a y 0<d<a-x; la condición continua X=x usa el cociente de densidades donde f_X(x)>0.
Calcula c para normalizar la densidad conjunta.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula c para normalizar la densidad conjunta. El soporte es un triángulo, no su rectángulo exterior. Un corte fija una coordenada y determina los límites de la otra; la integral doble normaliza todo el soporte. Una condicional divide el corte por su marginal positiva. Para este apartado: Para cada x, y recorre desde cero hasta a−x.
Integrar sobre el soporte
El corte vertical tiene longitud a-x; la integral total es c∫₀ᵃ(a-x)dx=c a²/2.
Despejar la altura
c=2/5²=0,08; tiene unidades mg⁻², no unidades de probabilidad.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,08 mg a la potencia -2. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La probabilidad es densidad por área; la altura de la superficie no es una probabilidad puntual.
La probabilidad es densidad por área; la altura de la superficie no es una probabilidad puntual.
Calcula P(X+Y≤b).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(X+Y≤b). El soporte es un triángulo, no su rectángulo exterior. Un corte fija una coordenada y determina los límites de la otra; la integral doble normaliza todo el soporte. Una condicional divide el corte por su marginal positiva. Para este apartado: El evento es un triángulo más pequeño dentro del soporte.
Delimitar la región
Como b=2,5<a=5, sus cortes van de y=0 a y=b-x con 0≤x≤b; el área es b²/2.
Multiplicar densidad por área
c b²/2 = (2,5/5)² = 0,25.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,25 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. El resultado no tiene unidades; integrar el cuadrado que contiene la región daría otra respuesta.
El resultado no tiene unidades; integrar el cuadrado que contiene la región daría otra respuesta.
Hacer la cuenta y entender el resultado
La probabilidad de Y mayor que 0,4 en ese corte es longitud favorable dividida entre longitud total: (0,8−0,4)/0,8 = 0,5. En una tabla discreta dividimos una masa conjunta por la masa de la condición; en un modelo continuo dividimos densidades.
La probabilidad de X exactamente 0,2 es cero en el modelo continuo. Por eso no dividimos por esa probabilidad puntual. El cociente de densidades define un corte normalizado donde la marginal es positiva. Saber que un instrumento registró un intervalo alrededor de 0,2 sería otra condición.
Normalizar un corte
En una tabla discreta, la probabilidad condicionada divide la masa conjunta por la marginal del valor conocido, siempre que sea positiva. En un modelo continuo, el evento de observar exactamente una coordenada tiene probabilidad cero. No aplicamos literalmente el cociente de probabilidades de ese evento: usamos el cociente de densidades, donde la marginal es positiva.
Ese cociente transforma el corte en una densidad que integra uno. Describe cómo se distribuye la medida restante al fijar la conocida en el modelo. Si el instrumento redondea, condicionar a un intervalo de lectura es otra pregunta, con una región de probabilidad positiva. No se deben confundir ambas condiciones.
Fórmulas del apartado
Se lee: Masa de i griega dado equis: masa conjunta entre marginal de equis. En el continuo usamos densidad conjunta entre densidad marginal, no probabilidad de un punto.
Cada cociente usa una marginal positiva de la naturaleza correspondiente: masa o densidad.
Una condición nueva sobre un recurso
Para la densidad dos en el triángulo con x e y positivos y suma menor que uno, la marginal de X es . Condicionando en , Y tiene densidad constante entre y . La probabilidad de que Y supere 0,4 es la mitad. Esta cuenta normaliza un corte; no divide por la probabilidad nula de X exactamente 0,2.
Desarrollo escrito del ejemplo
X e Y son miligramos de nutriente asignados a dos microcultivos; puede quedar una parte sin asignar. El reparto se modeliza uniformemente sobre un triángulo.
- ∫∫_R g(x,y) dy dx · Integral doble
Se lee: integral doble sobre la región erre, primero respecto de i griega y después de equis.
Suma sobre una región de dos coordenadas. El orden escrito dy dx pide recorrer y para cada x y después recorrer x.
Ejemplo: Si x + y ≤ 1 y ambas son no negativas, para x = 0,3 queda 0 ≤ y ≤ 0,7.
- p_{X,Y}(x,y), f_{X,Y}(x,y) · Distribución conjunta
Se lee: masa conjunta de equis e i griega; densidad conjunta de equis e i griega.
Describe dos medidas del mismo resultado. Una coma entre condiciones de P significa que se cumplen ambas, no una alternativa.
Ejemplo: P(X = 1, Y = 0) pide X igual a uno e Y igual a cero.
- p_X(x), f_X(x) · Distribución marginal
Se lee: masa marginal de equis; densidad marginal de equis.
Describe una sola medida reuniendo todos los valores de la otra. Se suma o integra, sin fijar la otra medida.
Ejemplo: Para contar plantas con marcador verde sumamos las que tienen rojo y las que no.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
Datos y supuestos
- Soporte: x≥0, y≥0, x+y≤a=5 mg; densidad conjunta f(x,y)=c dentro y cero fuera.
- Se fija x=2 mg; b=2,5 mg para el evento X+Y≤b; d=1,25 mg para el corte Y>d.
- Uniforme sobre el área triangular, no sobre el cuadrado [0,a]²; X e Y no son independientes.
- 0<x<a y 0<d<a-x; la condición continua X=x usa el cociente de densidades donde f_X(x)>0.
Calcula f_X(x) en el valor interior dado.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula f_X(x) en el valor interior dado. El soporte es un triángulo, no su rectángulo exterior. Un corte fija una coordenada y determina los límites de la otra; la integral doble normaliza todo el soporte. Una condicional divide el corte por su marginal positiva. Para este apartado: Integra la conjunta a lo largo de todos los y compatibles con x.
Medir el corte vertical
a-x=5-2=3 mg.
Integrar su altura
f_X(x)=c(a-x)=0,08 × 3=0,24 mg⁻¹.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,24 mg a la potencia -1. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Es una densidad marginal decreciente, no P(X=x), que vale cero.
Es una densidad marginal decreciente, no P(X=x), que vale cero.
Calcula f_{Y|X}(d | x) en el corte indicado.
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula f_{Y|X}(d | x) en el corte indicado. El soporte es un triángulo, no su rectángulo exterior. Un corte fija una coordenada y determina los límites de la otra; la integral doble normaliza todo el soporte. Una condicional divide el corte por su marginal positiva. Para este apartado: Divide la altura conjunta por f_X(x), no por P(X=x).
Normalizar el corte
c/[c(a-x)]=1/(a-x); el soporte condicionado es 0≤y≤3.
Sustituir y comprobar el área
1/3=0,3333333 mg⁻¹; altura por longitud = (1/3) × 3 = 1.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,3333333 mg a la potencia -1. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La densidad condicional es uniforme en el corte; evaluarla en d no da P(Y=d | X=x).
La densidad condicional es uniforme en el corte; evaluarla en d no da P(Y=d | X=x).
Normalizar un corte
En una tabla discreta, la probabilidad condicionada divide la masa conjunta por la marginal del valor conocido, siempre que sea positiva. En un modelo continuo, el evento de observar exactamente una coordenada tiene probabilidad cero. No aplicamos literalmente el cociente de probabilidades de ese evento: usamos el cociente de densidades, donde la marginal es positiva.
Ese cociente transforma el corte en una densidad que integra uno. Describe cómo se distribuye la medida restante al fijar la conocida en el modelo. Si el instrumento redondea, condicionar a un intervalo de lectura es otra pregunta, con una región de probabilidad positiva. No se deben confundir ambas condiciones.
Desarrollo escrito del ejemplo
X e Y son miligramos de nutriente asignados a dos microcultivos; puede quedar una parte sin asignar. El reparto se modeliza uniformemente sobre un triángulo.
- ∫∫_R g(x,y) dy dx · Integral doble
Se lee: integral doble sobre la región erre, primero respecto de i griega y después de equis.
Suma sobre una región de dos coordenadas. El orden escrito dy dx pide recorrer y para cada x y después recorrer x.
Ejemplo: Si x + y ≤ 1 y ambas son no negativas, para x = 0,3 queda 0 ≤ y ≤ 0,7.
- p_{X,Y}(x,y), f_{X,Y}(x,y) · Distribución conjunta
Se lee: masa conjunta de equis e i griega; densidad conjunta de equis e i griega.
Describe dos medidas del mismo resultado. Una coma entre condiciones de P significa que se cumplen ambas, no una alternativa.
Ejemplo: P(X = 1, Y = 0) pide X igual a uno e Y igual a cero.
- p_X(x), f_X(x) · Distribución marginal
Se lee: masa marginal de equis; densidad marginal de equis.
Describe una sola medida reuniendo todos los valores de la otra. Se suma o integra, sin fijar la otra medida.
Ejemplo: Para contar plantas con marcador verde sumamos las que tienen rojo y las que no.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- f_X(x) · Densidad
Se lee: efe minúscula sub equis de x.
Describe probabilidad por unidad de la variable. La probabilidad es el área de un intervalo, no la altura en un punto.
Ejemplo: Densidad 0,5 por minuto en un intervalo de 0,8 minutos da probabilidad 0,4.
Datos y supuestos
- Soporte: x≥0, y≥0, x+y≤a=5 mg; densidad conjunta f(x,y)=c dentro y cero fuera.
- Se fija x=2 mg; b=2,5 mg para el evento X+Y≤b; d=1,25 mg para el corte Y>d.
- Uniforme sobre el área triangular, no sobre el cuadrado [0,a]²; X e Y no son independientes.
- 0<x<a y 0<d<a-x; la condición continua X=x usa el cociente de densidades donde f_X(x)>0.
Calcula P(Y>d | X=x).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(Y>d | X=x). El soporte es un triángulo, no su rectángulo exterior. Un corte fija una coordenada y determina los límites de la otra; la integral doble normaliza todo el soporte. Una condicional divide el corte por su marginal positiva. Para este apartado: Compara la longitud por encima de d con la longitud total del corte.
Delimitar el intervalo favorable
En este corte Y va de 0 a 3; por encima de d quedan 1,75 mg.
Integrar la densidad condicional
(3-1,25)/3=0,5833333.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,5833333 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Es una probabilidad sin unidades obtenida de una longitud; no se divide por la probabilidad puntual nula de X=x.
Es una probabilidad sin unidades obtenida de una longitud; no se divide por la probabilidad puntual nula de X=x.
Ejemplo resuelto
Cargando ejercicios...