Combinaciones lineales e incorrelación
Apuntes, tema 4 · 4.8.6 a 4.8.9: productos, combinaciones lineales, multinomial e incorrelación; ejercicios U3 6 a 8Abrir el PDF en la página 17
Objetivos de la lección
- Calcular la varianza de una suma o diferencia dependiente.
- Distinguir ausencia de asociación lineal de independencia.
Apartado 1 de 3
La variación compartida entra con signo
Transcripción
Hola.
Dos lecturas emparejadas, en unidades compatibles, tienen varianzas cuatro y nueve y covarianza tres.
Queremos la dispersión de equis menos i griega.
No podemos tratar cada lectura como independiente sin justificación: si suben juntas, parte de ese movimiento compartido se cancela al restarlas.
Al centrar la diferencia y elevarla al cuadrado aparecen los cuadrados de las dos desviaciones individuales.
Sus esperanzas son las varianzas cuatro y nueve, que se suman y dan trece.
El signo menos de una lectura desaparece en su cuadrado, pero todavía queda el término cruzado.
El cuadrado de una resta contiene menos dos veces el producto de las desviaciones centradas.
Su esperanza es menos dos veces la covarianza.
Calculamos primero el tamaño de esa corrección: dos por tres da seis.
La restaremos porque estamos formando una diferencia, no porque la covarianza sea negativa.
Restamos la corrección seis a las varianzas individuales trece y obtenemos siete.
La varianza de la diferencia lleva unidades de lectura al cuadrado y sigue siendo no negativa.
No estamos restando las varianzas nueve y cuatro directamente; hemos incluido cómo se coordinan ambas lecturas.
Omitir la covarianza habría dado trece y sobreestimado esta dispersión.
Para una suma, el término cruzado sería positivo y daría diecinueve: la misma asociación refuerza los movimientos al sumar y los cancela parcialmente al restar.
El efecto depende de la combinación, no solo de que las lecturas estén relacionadas.
En general a y be son coeficientes fijos.
Sus cuadrados multiplican las varianzas porque escalan distancias cuadradas; dos a be multiplica la covarianza y conserva el signo de la combinación.
La fórmula requiere segundos momentos finitos, no normalidad.
La independencia basta para anular el término cruzado, pero la incorrelación también.
Palabras y símbolos de esta lección
- aX + bY · Combinación lineal
Se lee: a por equis más be por i griega.
Multiplica cada medida por un coeficiente y suma los resultados. Los coeficientes pueden ser negativos: X − Y usa a = 1 y b = −1.
Ejemplo: Una diferencia entre dos lecturas de la misma muestra es una combinación lineal.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
- Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación
Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.
La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.
Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.
- μ⃗, Σ, Σᵢⱼ, aᵀ · Vectores y matrices
Se lee: vector mu; sigma mayúscula; sigma sub i jota; a transpuesta.
Un vector es una lista ordenada; una matriz, una tabla. i identifica la fila y j la columna. Transponer convierte una columna en fila o intercambia filas y columnas.
Ejemplo: En una matriz de covarianzas, las posiciones (1,1) y (2,2) son varianzas.
- A ⊥ B · Independencia
Se lee: a es independiente de be.
Conocer si ocurre un suceso no cambia la probabilidad del otro. No significa que no puedan ocurrir juntos.
Ejemplo: Dos ensayos pueden fallar juntos aunque sean independientes.
¿Por qué la diferencia entre dos lecturas puede variar menos?
Dos medidas de la misma muestra pueden subir y bajar juntas. Al restarlas, parte de ese cambio compartido se cancela. Para describir la variación de X menos Y necesitamos las dos varianzas y su covarianza, no solo las dispersiones por separado.
Si Var(X) = 4, Var(Y) = 9 y Cov(X,Y) = 3, la varianza de X−Y es 4 + 9 − 2 × 3 = 7. Suponer independencia sin motivo daría trece. En una suma el término compartido se añade; en una diferencia se resta por el signo de su coeficiente.
La relación afecta a la dispersión
La media de una combinación lineal se obtiene por linealidad sin exigir independencia. Su varianza reúne las varianzas escaladas y las covarianzas de cada pareja. En una diferencia, una covarianza positiva reduce la dispersión porque las dos medidas suelen subir y bajar juntas; en una suma, la aumenta.
La notación matricial expresa esta misma cuenta con el vector de coeficientes y la matriz de covarianzas. No añade un supuesto nuevo: organiza los términos. También explica por qué la matriz debe producir una cantidad no negativa para cualquier vector de coeficientes. La covarianza de una variable consigo misma es su varianza.
Fórmulas del apartado
Se lee: Varianza de a equis más be i griega: a al cuadrado por la varianza de equis más be al cuadrado por la varianza de i griega más dos a be por su covarianza.
El signo de los coeficientes determina cómo entra la variación compartida.
Diferencia ficticia entre dos lecturas
Dos lecturas de una misma muestra tienen varianzas cuatro y nueve y covarianza tres. La varianza de su diferencia es cuatro más nueve menos seis, que vale siete. Si se hubiese supuesto independencia, habría salido trece. Las medidas emparejadas pueden compartir variación; esa relación no debe eliminarse por comodidad.
Desarrollo escrito del ejemplo
X e Y son indicadores 0/1 de dos marcadores moleculares medidos en el mismo organismo.
- Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación
Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.
La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.
Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
Datos y supuestos
- Tabla de probabilidades, filas X=0,1 y columnas Y=0,1: [0,3, 0,2]; [0,2, 0,3].
- Ambas marginales tienen probabilidad 0,5 de valer uno.
- La tabla es una distribución conjunta: entradas no negativas y suma uno.
- Los indicadores no se presuponen independientes.
Calcula Cov(X,Y).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula Cov(X,Y). La covarianza compara variación compartida: calculamos la esperanza del producto y restamos el producto de medias. La correlación divide además por las dos desviaciones, siempre que sean positivas; ninguna de las dos implica causalidad. Para este apartado: XY solo vale uno en la celda X=1,Y=1.
Obtener los momentos
E[X]=E[Y]=0,5 y E[XY]=P(X=1,Y=1)=0,3.
Centrar el producto
0,3 - 0,5 × 0,5 = 0,05.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,05 producto de unidades de los indicadores. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Los valores altos tienden a coincidir más de lo esperado bajo independencia; no prueba causalidad.
Los valores altos tienden a coincidir más de lo esperado bajo independencia; no prueba causalidad.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Una combinación lineal multiplica medidas por coeficientes y las suma. La media se combina de la misma manera, incluso si hay dependencia. Para la varianza, los coeficientes de cada variable se elevan al cuadrado y las parejas aportan dos veces el producto de coeficientes por su covarianza.
Covarianza cero solo descarta asociación lineal. Si X es uniforme entre menos uno y uno e Y = X², conocer X determina Y, aunque la simetría haga cero la covarianza. Hay dependencia. La equivalencia entre covarianza cero e independencia requiere normalidad conjunta; no se extiende a cualquier modelo.
La relación afecta a la dispersión
La media de una combinación lineal se obtiene por linealidad sin exigir independencia. Su varianza reúne las varianzas escaladas y las covarianzas de cada pareja. En una diferencia, una covarianza positiva reduce la dispersión porque las dos medidas suelen subir y bajar juntas; en una suma, la aumenta.
La notación matricial expresa esta misma cuenta con el vector de coeficientes y la matriz de covarianzas. No añade un supuesto nuevo: organiza los términos. También explica por qué la matriz debe producir una cantidad no negativa para cualquier vector de coeficientes. La covarianza de una variable consigo misma es su varianza.
Fórmulas del apartado
Se lee: A transpuesta por equis es la suma de medidas con sus coeficientes. Su media combina las medias; a transpuesta sigma a reúne varianzas y covarianzas de esa misma cuenta.
La forma matricial reúne todos los términos de una combinación lineal con momentos finitos.
Un contraejemplo que conviene recordar
Dos variables pueden estar relacionadas de manera exacta y tener covarianza cero. Si X es uniforme entre menos uno y uno y Y es su cuadrado, conocer X determina Y. Por simetría, la esperanza de X y la de su cubo son cero, así que la covarianza entre X e Y es cero. No hay independencia.
Si el vector es conjuntamente normal, covarianza cero sí implica independencia entre componentes; con solo marginales normales, esa conclusión no está garantizada. En una multinomial, las covarianzas negativas reflejan competencia por un total fijo. Una lectura biológica correcta distingue restricciones de diseño, asociación estadística y mecanismos causales.
Fórmulas del apartado
Se lee: La independencia implica covarianza cero si existen los momentos. La flecha inversa tachada recuerda que covarianza cero no implica independencia en general.
El recíproco falla en general; en un vector conjuntamente normal sí existe la equivalencia correspondiente.
Desarrollo escrito del ejemplo
X e Y son indicadores 0/1 de dos marcadores moleculares medidos en el mismo organismo.
- Cov(X,Y), ρ · Covarianza y correlación
Se lee: covarianza de equis e i griega; ro.
La covarianza compara si ambas medidas se alejan juntas de sus medias. La correlación divide por sus desviaciones y queda entre −1 y 1 si ambas desviaciones son positivas.
Ejemplo: Si al crecer X suele crecer Y, la asociación lineal puede ser positiva. No demuestra una causa.
- E[X], μ · Esperanza o media del modelo
Se lee: esperanza de equis; mu.
Promedia los valores posibles dando más peso a los más probables. No obliga a que ese valor aparezca en una observación.
Ejemplo: Cero o cuatro células con igual probabilidad dan media dos.
- Var(X), σ², σ · Varianza y desviación típica
Se lee: varianza de equis; sigma al cuadrado; sigma.
La varianza promedia distancias a la media elevadas al cuadrado. Su raíz, la desviación típica, expresa la dispersión en las unidades originales.
Ejemplo: Desviación 3 mm significa varianza 9 mm².
Datos y supuestos
- Tabla de probabilidades, filas X=0,1 y columnas Y=0,1: [0,3, 0,2]; [0,2, 0,3].
- Ambas marginales tienen probabilidad 0,5 de valer uno.
- La tabla es una distribución conjunta: entradas no negativas y suma uno.
- Los indicadores no se presuponen independientes.
Calcula la correlación ρ(X,Y).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula la correlación ρ(X,Y). La covarianza compara variación compartida: calculamos la esperanza del producto y restamos el producto de medias. La correlación divide además por las dos desviaciones, siempre que sean positivas; ninguna de las dos implica causalidad. Para este apartado: Cada indicador tiene varianza 0,5(1−0,5)=0,25.
Calcular las desviaciones
σX=σY=√0,25=0,5; el producto de desviaciones es 0,25.
Normalizar la covarianza
0,05/0,25 = 0,2.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,2 correlación sin unidades. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. La correlación mide asociación lineal y debe estar entre −1 y 1.
La correlación mide asociación lineal y debe estar entre −1 y 1.
Ejemplo resuelto
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