Axiomas, solapamientos y frecuencia relativa

Apuntes, tema 1 · 1.2 a 1.5 y 1.10: cálculo, propiedades, frecuencia y simulaciónAbrir el PDF en la página 2

Lección

Objetivos de la lección

• Calcular una unión sin contar dos veces.
• Distinguir probabilidad del modelo y frecuencia observada.

Apartado 1 de 4

Una escala que debe completar uno

Transcripción

Hola.

Un cultivo puede estar en uno de tres estados excluyentes.

Queremos repartir probabilidad entre ellos sin contradicciones.

Los axiomas no eligen por nosotros el reparto que describe al cultivo, pero sí establecen las reglas mínimas que cualquier propuesta debe respetar.

La primera regla es no asignar probabilidades negativas.

La segunda fija pe de omega igual a uno: el espacio recoge todas las posibilidades, de modo que algo de él ocurrirá.

Uno representa el total del modelo; no obliga a que una frecuencia de una muestra coincida exactamente con cada probabilidad.

Si dos estados distintos pesan dos décimas y tres décimas, reunirlos da cinco décimas.

Podemos sumar directamente porque son excluyentes: ningún resultado aparece en ambos.

El estado restante completa la probabilidad que falta, sin que debamos repartir por igual entre los tres nombres.

La tercera regla generaliza esa suma a una lista numerable de sucesos disjuntos dos a dos.

La unión acepta cualquiera de ellos y cada resultado entra una sola vez; por eso sumamos sus probabilidades.

La letra i recorre los sucesos de la lista.

Sin disjunción, esta igualdad no vale en general.

Si tres sucesos se solapan, usamos inclusión y exclusión: sumamos individuales, restamos intersecciones por parejas y añadimos la triple.

Un resultado presente en los tres entró tres veces y fue retirado tres veces; añadir la triple recupera exactamente una copia, que es lo que necesita la unión.

Con más sucesos seguimos alternando: sumamos intersecciones de un número impar de sucesos y restamos las de un número par, hasta incluir todas.

Es una corrección de copias, no una hipótesis de independencia.

El dibujo ayuda a seguirlas, pero el tamaño que demos a una región no establece su probabilidad real.

Palabras y símbolos de esta lección

P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad

Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.

P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.

Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.

A ∪ B, A ∩ B, Aᶜ, A ∖ B · Operaciones con sucesos

Se lee: a unión be; a intersección be; complemento de a; a menos be.

Unión significa al menos uno, incluido ambos. Intersección significa ambos. Complemento significa no A. A menos B significa A pero no B.

Ejemplo: Una célula con ambos marcadores pertenece a la unión y a la intersección.

I_A · Indicador

Se lee: indicador de a.

Convierte una condición en un número: uno si se cumple y cero si no. No es una letra i que se multiplique por A.

Ejemplo: Germina: 1. No germina: 0. La suma cuenta germinaciones.

∑ᵢ aᵢ · Sumatorio

Se lee: suma de a sub i.

La sigma grande pide sumar términos. El índice i es un contador; las etiquetas inferiores y superiores indican dónde empieza y termina.

Ejemplo: Sumar a₁, a₂ y a₃, con valores 2, 3 y 5, da 10.

iid, X̄, S², s, n−1 · Muestra y resúmenes

Se lee: independientes e idénticamente distribuidas; equis barra; ese al cuadrado; ese; ene menos uno.

iid supone observaciones independientes del mismo modelo. X̄ es su media; S², la varianza muestral con divisor n−1; s es la desviación calculada en una muestra concreta.

Ejemplo: Cinco lecturas de suma 50 tienen media 10. iid es una hipótesis, no algo garantizado por tener cinco filas.

¿Por qué no podemos sumar sin revisar los solapamientos?

Una probabilidad va de cero a uno. Cero representa una condición que el modelo no espera que ocurra y uno una condición segura. Si una célula se elige con la misma probabilidad que las demás, contar cuántas cumplen una condición y dividir por todas permite calcular su probabilidad.

Supón que el 45 % tiene marcador A, el 30 % marcador B y el 15 % ambos. Sumar 45 % y 30 % cuenta dos veces a las células con ambos. Restamos una de esas copias: 0,45 + 0,30 − 0,15 = 0,60. La probabilidad de al menos un marcador es el 60 %.

Reglas que cualquier modelo debe respetar

La probabilidad es no negativa, asigna uno al suceso seguro y suma las probabilidades de sucesos disjuntos. La aditividad numerable extiende esa suma a una lista infinita de sucesos incompatibles. Estas reglas implican que el vacío tiene probabilidad cero y que un suceso contenido en otro no puede ser más probable.

Si dos sucesos se solapan, sumar sus probabilidades cuenta la intersección dos veces. La regla de la unión resta una copia de esa intersección. Con tres sucesos se restan las intersecciones por parejas y se añade la triple, porque las restas la eliminaron demasiado. Para cualquier número finito de sucesos, inclusión-exclusión continúa alternando: suma individuales, resta todas las parejas, suma todas las triples y sigue hasta la intersección de todos. Un dibujo de regiones ayuda, pero la regla funciona sin depender del tamaño visual del dibujo.

Si no conocemos las intersecciones, aún podemos dar cotas sin suponer independencia. La probabilidad de una unión no supera la suma de las probabilidades individuales, ni uno. Aplicando esta cota a los complementos y usando De Morgan, la cota de Bonferroni para que ocurran todos es uno menos la suma de las probabilidades de sus complementos, o cero si ese resultado es negativo. Por ejemplo, si tres controles tienen cada uno probabilidad 0,9 de pasar, la probabilidad de pasarlos todos es al menos 1 menos tres por 0,1, es decir, 0,7. No hemos multiplicado 0,9 tres veces: esa cuenta exigiría independencia mutua.