Independencia no significa incompatibilidad
Apuntes, tema 1 · 1.6.2 y 1.6.3: dependencia, independencia e incompatibilidad; ampliación señalada a independencia mutuaAbrir el PDF en la página 6
Objetivos de la lección
- Distinguir sucesos disjuntos de sucesos independientes.
- Comprobar independencia sin dividir por probabilidades nulas.
Apartado 1 de 3
Saber un fallo no cambia el otro
Transcripción
Hola.
Dos controles, a y be, fallan con probabilidades dos décimas y tres décimas.
Queremos distinguir independencia de incompatibilidad.
Independencia no prohíbe fallar juntos: dice que conocer un fallo no cambia la probabilidad del otro, cuando podemos formular esa condicional.
Si fueran independientes, dentro de los fallos de a seguiría fallando be con probabilidad tres décimas.
Tomar esa parte de las dos décimas iniciales equivale a multiplicar: dos décimas por tres décimas da seis centésimas para ambos.
Es una predicción de la hipótesis, no una prueba de que sea cierta.
La definición exige que pe de a intersección be sea exactamente pe de a por pe de be.
A la izquierda está el peso conjunto que debe proporcionar el modelo; a la derecha, el producto que calculamos.
Conocer solo las dos probabilidades individuales no permite verificar la igualdad.
Esta definición no divide y también sirve si un suceso tiene probabilidad cero: su intersección con cualquier otro pesa cero y el producto también.
Para expresar independencia como pe de a dado be igual a pe de a necesitamos pe de be positiva.
No intentamos esa división cuando el denominador es cero.
Incompatibilidad significa intersección vacía: ambos no pueden ocurrir juntos.
Si cada fallo tiene probabilidad positiva, su producto es positivo y no coincide con la conjunta cero; por tanto son dependientes.
Saber que ocurrió uno descarta el otro.
Solo con alguna probabilidad individual nula podrían ser a la vez incompatibles e independientes.
La independencia se conserva al negar sucesos: para no a y be, restamos de pe de be la conjunta de a y be.
Si esta factoriza, queda pe de be por uno menos pe de a, justo el producto con el complemento.
Repetirlo permite negar ambos.
Pero en un muestreo sin reemplazo cambia lo disponible; reponer tampoco basta si la siguiente elección utiliza información de la anterior.
Palabras y símbolos de esta lección
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- A ∪ B, A ∩ B, Aᶜ, A ∖ B · Operaciones con sucesos
Se lee: a unión be; a intersección be; complemento de a; a menos be.
Unión significa al menos uno, incluido ambos. Intersección significa ambos. Complemento significa no A. A menos B significa A pero no B.
Ejemplo: Una célula con ambos marcadores pertenece a la unión y a la intersección.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- A ⊥ B · Independencia
Se lee: a es independiente de be.
Conocer si ocurre un suceso no cambia la probabilidad del otro. No significa que no puedan ocurrir juntos.
Ejemplo: Dos ensayos pueden fallar juntos aunque sean independientes.
¿Conocer un marcador cambia la probabilidad del otro?
A y B son fallos de dos controles. Si P(A) = 0,2 y P(B) = 0,3, independencia significa que saber si falló uno no cambia la probabilidad del otro. No significa que sea imposible que fallen ambos: bajo independencia, la probabilidad conjunta es 0,2 × 0,3 = 0,06.
Para comprobarlo necesitamos conocer también la probabilidad real de ambos en el modelo. Si coincide con 0,06, los dos sucesos son independientes. Si no coincide, no lo son. El parecido del nombre de dos muestras o que estén en tubos distintos no demuestra esa igualdad.
No coexistir y no informar son ideas distintas
Dos sucesos incompatibles no pueden ocurrir juntos. Dos sucesos independientes pueden ocurrir juntos, pero conocer uno no modifica la probabilidad del otro. Si ambos tienen probabilidad positiva y son incompatibles, conocer que ocurrió uno descarta el otro: eso es una dependencia extrema, no independencia.
La igualdad entre probabilidad conjunta y producto de marginales es una definición que también funciona cuando alguna probabilidad es cero. La versión condicionada requiere un denominador positivo. En una extracción sin reemplazo, conocer el primer resultado cambia la composición disponible; en una extracción con reemplazo y mecanismo estable puede no cambiarla.
La independencia se conserva al sustituir cualquiera de los dos sucesos, o ambos, por sus complementos. Para verlo con no A y B, resta de la probabilidad de B la intersección de A y B. Por independencia queda P(B) menos P(A) por P(B), que es uno menos P(A), todo multiplicado por P(B): el producto de las marginales de no A y B. El mismo argumento se repite con el otro complemento.
Fórmulas del apartado
Se lee: A es independiente de be si y solo si la probabilidad de ambos es el producto de sus probabilidades individuales.
La independencia expresa ausencia de información probabilística entre los sucesos.
Dos controles de un ensayo
Supón controles A y B con probabilidades de fallo 0,2 y 0,3. Si son independientes, el fallo simultáneo tiene probabilidad 0,06. Si el protocolo impide que fallen ambos, la conjunta sería cero y no serían independientes. Además, dos bits aleatorios independientes y el indicador de que difieren ofrecen tres sucesos independientes por parejas, pero no mutuamente: el tercero queda determinado por los dos primeros.
Desarrollo escrito del ejemplo
A significa que una célula tiene marcador verde y B que tiene marcador rojo. Se conocen las probabilidades del modelo.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- A ∪ B, A ∩ B, Aᶜ, A ∖ B · Operaciones con sucesos
Se lee: a unión be; a intersección be; complemento de a; a menos be.
Unión significa al menos uno, incluido ambos. Intersección significa ambos. Complemento significa no A. A menos B significa A pero no B.
Ejemplo: Una célula con ambos marcadores pertenece a la unión y a la intersección.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- A ⊥ B · Independencia
Se lee: a es independiente de be.
Conocer si ocurre un suceso no cambia la probabilidad del otro. No significa que no puedan ocurrir juntos.
Ejemplo: Dos ensayos pueden fallar juntos aunque sean independientes.
Datos y supuestos
- P(A) = 0,4; P(B) = 0,5.
- P(A ∩ B), la probabilidad de ambos, vale 0,25.
- Ambos marcadores pueden aparecer en la misma célula.
- No se supone independencia: hay que comprobarla.
Si A y B fueran independientes, ¿qué probabilidad tendrían ambos?
Identificar la pregunta y justificar el método
Si A y B fueran independientes, ¿qué probabilidad tendrían ambos? A y B son dos condiciones que pueden cumplirse en el mismo resultado. Si fueran independientes, la probabilidad de ambas sería P(A) por P(B). Comparamos ese producto con la probabilidad de ambas que da el enunciado. Para este apartado: Multiplica las dos probabilidades individuales.
Aplicar la condición de independencia
El producto sería 0,4 × 0,5 = 0,2.
Comparar con el dato real
El enunciado da 0,25 para ambos. No coincide con el producto: estos dos sucesos no son independientes.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,2 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Independencia no significa que la probabilidad de ambos sea cero.
Independencia no significa que la probabilidad de ambos sea cero.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Incompatibles significa que no pueden ocurrir juntos. Si dos fallos tienen probabilidades positivas pero el protocolo impide que coincidan, su intersección vale cero. Conocer que ocurrió uno descarta el otro: eso cambia su probabilidad y no es independencia.
En biología, las células del mismo cultivo pueden compartir medio, tratamiento y variaciones comunes. La independencia es una hipótesis sobre el experimento. Con más de dos sucesos hay una condición adicional: verificar solo parejas puede no detectar una restricción que afecte al grupo completo.
Desarrollo escrito del ejemplo
A significa que una célula tiene marcador verde y B que tiene marcador rojo. Se conocen las probabilidades del modelo.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- A ∪ B, A ∩ B, Aᶜ, A ∖ B · Operaciones con sucesos
Se lee: a unión be; a intersección be; complemento de a; a menos be.
Unión significa al menos uno, incluido ambos. Intersección significa ambos. Complemento significa no A. A menos B significa A pero no B.
Ejemplo: Una célula con ambos marcadores pertenece a la unión y a la intersección.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- A ⊥ B · Independencia
Se lee: a es independiente de be.
Conocer si ocurre un suceso no cambia la probabilidad del otro. No significa que no puedan ocurrir juntos.
Ejemplo: Dos ensayos pueden fallar juntos aunque sean independientes.
Datos y supuestos
- P(A) = 0,4; P(B) = 0,5.
- P(A ∩ B), la probabilidad de ambos, vale 0,25.
- Ambos marcadores pueden aparecer en la misma célula.
- No se supone independencia: hay que comprobarla.
Entre las células con B, ¿qué probabilidad tiene A?
Identificar la pregunta y justificar el método
Entre las células con B, ¿qué probabilidad tiene A? A y B son dos condiciones que pueden cumplirse en el mismo resultado. Si fueran independientes, la probabilidad de ambas sería P(A) por P(B). Comparamos ese producto con la probabilidad de ambas que da el enunciado. Para este apartado: El grupo conocido es B: divide la probabilidad de ambos entre P(B).
Cambiar el grupo de referencia
P(A dado B) = 0,25/0,5 = 0,5.
Relacionar las dos comprobaciones
Sin conocer B, P(A) vale 0,4. Si conocer B no cambia esa probabilidad, hay independencia.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,5 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Esta comprobación usa solo sucesos y probabilidades, sin covarianzas.
Esta comprobación usa solo sucesos y probabilidades, sin covarianzas.
Más de dos sucesos
En una colección, independencia por parejas significa que cada pareja cumple la regla del producto. Independencia mutua exige además que la regla se cumpla para toda subcolección. Es una condición más fuerte. Una restricción sobre el conjunto puede crear dependencia que no se detecta al mirar parejas por separado.
En biología, la independencia es una hipótesis sobre el mecanismo y la unidad experimental. Células del mismo cultivo comparten medio y tratamiento; tratarlas como réplicas independientes puede ignorar variación común. Distingue independencia entre ensayos, entre medidas del mismo individuo y entre categorías de un resultado.
Fórmulas del apartado
Se lee: Para independencia mutua, la probabilidad de la intersección de cada grupo de sucesos debe ser el producto de las probabilidades de ese mismo grupo. J etiqueta qué sucesos elegimos.
La independencia mutua exige más que verificar únicamente parejas.
Ejemplo resuelto
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