Condicionar es cambiar el universo relevante
Apuntes, tema 1 · 1.6, 1.6.1 y 1.7: condicionamiento y regla del productoAbrir el PDF en la página 5
Objetivos de la lección
- Reconocer qué información se da por conocida.
- Usar la regla del producto con denominadores correctos.
Apartado 1 de 3
El filtro cambia el denominador
Transcripción
Hola.
De doscientas muestras, ochenta pasan un filtro; veinticuatro de esas ochenta tienen marcador.
Queremos la proporción con marcador sabiendo que pasaron el filtro.
Ese dato conocido descarta alternativas y cambia el grupo de referencia: empecemos identificando quiénes siguen dentro.
Las veinticuatro que cumplen ambas condiciones están dentro de las ochenta filtradas.
Las ciento veinte que no pasaron no pueden ser la muestra cuya condición conocemos.
Por eso comparamos veinticuatro con ochenta; usar doscientas mediría cumplir ambas en toda la población y respondería otra pregunta.
Dividimos veinticuatro entre ochenta y obtenemos tres décimas: tres de cada diez filtradas tienen marcador en este reparto.
No hemos aumentado el número de muestras con marcador; hemos expresado su peso relativo dentro de un grupo más pequeño que conocemos de antemano.
Llamemos a al marcador y be a pasar el filtro.
Pe de a dado be, con la barra leída dado que, divide la probabilidad conjunta por la de be.
Dividir por pe de be convierte ese grupo en nuestro nuevo total uno; requiere que tenga probabilidad positiva y no exige independencia.
Si preguntamos por be sabiendo be, el numerador y el denominador coinciden y obtenemos uno.
La normalización conserva una medida de probabilidad: ninguna respuesta es negativa, los complementos dentro del grupo completan uno y las uniones disjuntas se suman.
Solo ha cambiado la información que damos por conocida.
Si pe de be fuese cero, también lo sería la intersección, pero cero entre cero no define una respuesta.
No asignamos cero por defecto ni declaramos imposible todo condicionamiento posterior.
El caso de observar un valor continuo exige otra construcción mediante densidades, que no consiste en dividir por su probabilidad puntual.
Palabras y símbolos de esta lección
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- Ω, A, B, ∅, 𝒜 · Espacio muestral y sucesos
Se lee: omega; a; be; conjunto vacío; a caligráfica.
Ω reúne los resultados posibles. A y B nombran condiciones o sucesos. ∅ no contiene resultados. 𝒜 reúne las condiciones a las que el modelo puede asignar probabilidad.
Ejemplo: A puede significar marcador verde y B marcador rojo.
- A ∪ B, A ∩ B, Aᶜ, A ∖ B · Operaciones con sucesos
Se lee: a unión be; a intersección be; complemento de a; a menos be.
Unión significa al menos uno, incluido ambos. Intersección significa ambos. Complemento significa no A. A menos B significa A pero no B.
Ejemplo: Una célula con ambos marcadores pertenece a la unión y a la intersección.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
¿Entre qué plantas estamos calculando la proporción?
Hay doscientas plantas; ochenta superan un filtro de calidad y veinticuatro de esas ochenta presentan un marcador. Si preguntamos por el marcador entre las que superaron el filtro, el grupo relevante son las ochenta seleccionadas. No usamos doscientas como denominador.
Calculamos 24/80 = 0,30. En cambio, la probabilidad de superar el filtro y tener el marcador en todo el grupo es 24/200 = 0,12. Los dos cálculos usan las mismas veinticuatro plantas, pero contestan preguntas diferentes.
Mirar solo dentro de un grupo
La probabilidad de A dado B responde a una pregunta sobre los resultados que ya cumplen B. Dentro de ese grupo, interesan los que además cumplen A. Por eso el numerador usa la intersección y el denominador usa B. El denominador no es un ajuste arbitrario: vuelve a escalar el grupo seleccionado para que su probabilidad total sea uno.
El condicionamiento define otra medida de probabilidad cuando B tiene probabilidad positiva. Sus complementos y uniones siguen respetando las reglas anteriores. Si B es imposible bajo el modelo, el cociente elemental no está definido. No lo sustituyas por cero; la pregunta necesita otro planteamiento.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad de a dado be: probabilidad de a y be dividida entre probabilidad de be, que debe ser positiva.
Entre los resultados con B, se mide qué fracción también cumple A.
Un filtro de calidad nuevo
De 200 muestras ficticias, 80 superan un filtro y 24 de esas 80 contienen un marcador. La probabilidad del marcador condicionada a superar el filtro es 24 entre 80, es decir, 0,30. La probabilidad de superar el filtro y tener el marcador es 24 entre 200, que vale 0,12. Son preguntas relacionadas, pero distintas.
Desarrollo escrito del ejemplo
Un estudio registra tratamiento T y recuperación R en plantas afectadas por un hongo.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- A ∪ B, A ∩ B, Aᶜ, A ∖ B · Operaciones con sucesos
Se lee: a unión be; a intersección be; complemento de a; a menos be.
Unión significa al menos uno, incluido ambos. Intersección significa ambos. Complemento significa no A. A menos B significa A pero no B.
Ejemplo: Una célula con ambos marcadores pertenece a la unión y a la intersección.
Datos y supuestos
- 100 plantas; 40 tratadas.
- 32 tratadas se recuperan; 18 no tratadas se recuperan.
- Se selecciona una planta equiprobablemente.
- Son frecuencias observadas: no se presupone asignación aleatoria ni efecto causal.
Calcula P(R | T).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(R | T). La información dada selecciona un subgrupo. La intersección indica los casos que cumplen las dos condiciones y el denominador reúne todos los casos de la condición conocida, no toda la población. Para este apartado: Una vez condicionado a T, solo cuentan las plantas tratadas.
Restringir el universo
El grupo condicionado contiene 40 plantas, de las cuales 32 se recuperan.
Dividir dentro del grupo
32/40 = 0,8.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,8 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. Es la proporción de recuperación entre las tratadas, no entre todas las plantas.
Es la proporción de recuperación entre las tratadas, no entre todas las plantas.
Hacer la cuenta y entender el resultado
P(A dado B) se escribe con una barra entre A y B. A es lo que preguntamos y B lo que ya sabemos. La probabilidad de ambas condiciones va arriba; la de B, abajo. Si B tiene probabilidad cero, este cociente no se puede usar: no sustituimos la división por cero por una respuesta cero.
En un árbol de varias etapas multiplicamos la probabilidad del primer paso por la del segundo dentro del grupo que dejó el primero. No usamos automáticamente las probabilidades de los grupos completos: conocer lo anterior puede cambiar lo que ocurre después.
Desarrollo escrito del ejemplo
Un estudio registra tratamiento T y recuperación R en plantas afectadas por un hongo.
- P(A), P(X ≤ x) · Probabilidad
Se lee: probabilidad de A; probabilidad de que X sea menor o igual que x.
P aplica una probabilidad a la condición escrita entre paréntesis. El resultado va de cero a uno.
Ejemplo: P(germinar) = 0,25 equivale al 25 %.
- P(A | B) · Condición conocida
Se lee: probabilidad de a dado be.
La barra significa dado que. Nos limitamos al grupo B y preguntamos qué parte también cumple A. No significa división ni independencia.
Ejemplo: Entre 40 plantas tratadas se recuperan 10: P(recuperar | tratada) = 10/40.
- A ∪ B, A ∩ B, Aᶜ, A ∖ B · Operaciones con sucesos
Se lee: a unión be; a intersección be; complemento de a; a menos be.
Unión significa al menos uno, incluido ambos. Intersección significa ambos. Complemento significa no A. A menos B significa A pero no B.
Ejemplo: Una célula con ambos marcadores pertenece a la unión y a la intersección.
Datos y supuestos
- 100 plantas; 40 tratadas.
- 32 tratadas se recuperan; 18 no tratadas se recuperan.
- Se selecciona una planta equiprobablemente.
- Son frecuencias observadas: no se presupone asignación aleatoria ni efecto causal.
Calcula P(T | R).
Identificar la pregunta y justificar el método
Calcula P(T | R). La información dada selecciona un subgrupo. La intersección indica los casos que cumplen las dos condiciones y el denominador reúne todos los casos de la condición conocida, no toda la población. Para este apartado: Ahora el denominador son todas las plantas recuperadas.
Contar las recuperadas
32 + 18 = 50.
Invertir la condición, no la fracción
Entre las 50 recuperadas, 32 recibieron tratamiento: 32/50 = 0,64.
Comprobar e interpretar
El resultado es 0,64 probabilidad entre 0 y 1. Está entre cero y uno; si lo expresamos como porcentaje multiplicamos por cien, sin cambiar el suceso. P(T | R) responde a una selección distinta de P(R | T).
P(T | R) responde a una selección distinta de P(R | T).
Recorrer un árbol en el orden correcto
La regla del producto reconstruye una probabilidad conjunta multiplicando la probabilidad del primer paso por la del segundo condicionada al primero. Con tres etapas, la última se condiciona a la información acumulada. Solo se pueden eliminar esos condicionamientos si existe independencia justificada.
El orden de una frase importa: tener un marcador dado que hay enfermedad no es lo mismo que tener enfermedad dado el marcador. Las dos probabilidades usan la misma intersección, pero grupos de referencia diferentes. Escribir el grupo del denominador con palabras permite detectar una inversión incluso antes de calcular.
Fórmulas del apartado
Se lee: Probabilidad de a, be y ce: probabilidad de a por probabilidad de be dado a por probabilidad de ce dados a y be. Cada paso usa la información anterior.
La probabilidad de una ruta usa la información disponible en cada etapa, siempre que los condicionamientos estén definidos.
Ejemplo resuelto
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