Contar resultados: orden y repetición
Apuntes, tema 1 · 1.8 y 1.9: experimentos múltiples y las cinco reglas de combinatoriaAbrir el PDF en la página 7
Objetivos de la lección
- Elegir entre permutaciones, variaciones y combinaciones.
- Relacionar el recuento con experimentos múltiples.
Apartado 1 de 3
Contar elecciones ordenadas
Transcripción
Hola.
Tenemos cinco tubos distintos para ocupar izquierda y derecha en un ensayo.
Queremos contar asignaciones, así que primero decidimos si intercambiar dos tubos cambia el resultado.
Aquí las posiciones tienen funciones diferentes: izquierda a y derecha be no equivale a izquierda be y derecha a.
Sin repetir tubo hay cinco elecciones para la izquierda; fijada cualquiera de ellas, quedan cuatro para la derecha.
Multiplicamos cinco por cuatro porque cada primera elección se combina con cuatro segundas.
Obtenemos veinte asignaciones ordenadas, recorriendo una vez cada pareja de elecciones permitida.
Si el procedimiento permite repetir la identidad del tubo, elegir la primera ya no elimina una opción de la segunda.
Hay cinco opciones en cada posición y cinco por cinco, cinco al cuadrado, da veinticinco.
La diferencia procede de permitir las cinco parejas con la misma identidad, no de cambiar arbitrariamente de fórmula.
Para ordenar todos los elementos distintos sin repetir usamos el factorial: opciones descendentes hasta agotar los disponibles.
Cero factorial vale uno, porque existe una sola ordenación vacía, sin elementos que colocar.
Esta convención permite que las fórmulas sigan contando correctamente cuando no queda ninguna posición pendiente.
Una variación cuenta erre posiciones ordenadas tomadas de ene elementos distintos, sin repetición.
Ene factorial incluiría posiciones de más; dividir por ene menos erre factorial cancela sus factores y deja solo las elecciones necesarias.
Ene y erre son enteros y erre está entre cero y ene; para ordenar todos, erre coincide con ene.
Con repetición, ene opciones en cada una de erre posiciones dan ene elevado a erre.
Estas son reglas para contar, no para demostrar independencia ni uniformidad.
Solo dividiremos asignaciones favorables entre posibles si el mecanismo les da el mismo peso; de lo contrario tendremos que sumar sus probabilidades reales.
Palabras y símbolos de esta lección
- n! · Factorial
Se lee: ene factorial.
Multiplica los enteros de uno hasta n. Por definición, cero factorial vale uno.
Ejemplo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
- C(n,k), binom(n,k) · Combinaciones
Se lee: ene sobre ka; combinaciones de ene elementos tomados de ka en ka.
Cuenta grupos de k elementos elegidos de n sin repetir y sin distinguir el orden. La notación vertical de dos números no es una fracción.
Ejemplo: De A, B y C salen tres parejas: AB, AC y BC.
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- n, p, k, r · Ensayos y éxitos
Se lee: ene; pe; ka; erre.
n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.
Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.
¿Elegir dos tubos es lo mismo que asignar dos posiciones?
Tenemos cinco tubos distintos. Elegir dos para analizarlos juntos no distingue el par A,B del par B,A. Asignar un tubo a la izquierda y otro a la derecha sí distingue esos dos órdenes. Antes de elegir una fórmula, necesitamos saber qué resultados considera distintos el experimento.
Con posiciones etiquetadas y sin repetir tubo hay cinco opciones para la primera y cuatro para la segunda: 5 × 4 = 20 asignaciones. Si solo importa el par, cada pareja se ha contado dos veces. Dividimos 20 entre 2 y obtenemos diez parejas.
Dos preguntas antes de contar
Decide si importa el orden y si se puede repetir un elemento. Elegir tres muestras para un análisis conjunto no suele distinguir el orden; asignarlas a tres posiciones etiquetadas sí. Muestrear con reposición permite repetir; sin reposición no. Estas decisiones pertenecen al experimento, no a una preferencia por una fórmula.
El principio del producto cuenta rutas: si una etapa tiene varias opciones y cada una conduce al mismo número de opciones siguientes, se multiplican esos números. Para ordenar todos los elementos distintos se usa un factorial. Para ordenar solo una parte sin repetición se usa una variación; con repetición, una potencia. Ninguna de estas cuentas implica por sí sola que las rutas sean equiprobables.
Fórmulas del apartado
Se lee: Ene factorial multiplica desde ene hasta uno. Variaciones de ene tomados de erre: ene factorial dividido entre ene menos erre factorial. Con repetición, ene elevado a erre.
Ordenar r elementos de n sin repetición o con repetición produce recuentos distintos.
Asignar tubos a posiciones
Hay cinco tubos distintos y se necesitan dos. Elegir un par sin orden da diez posibilidades. Asignar uno a la posición izquierda y otro a la derecha da veinte. Si cada posición puede recibir cualquiera de cinco etiquetas y las etiquetas pueden repetirse, hay veinticinco secuencias. Son tres experimentos distintos.
Desarrollo escrito del ejemplo
Un laboratorio diseña selecciones de aislados y secuencias de etiquetas para tubos; cada apartado cambia qué resultados se distinguen.
- n! · Factorial
Se lee: ene factorial.
Multiplica los enteros de uno hasta n. Por definición, cero factorial vale uno.
Ejemplo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
- C(n,k), binom(n,k) · Combinaciones
Se lee: ene sobre ka; combinaciones de ene elementos tomados de ka en ka.
Cuenta grupos de k elementos elegidos de n sin repetir y sin distinguir el orden. La notación vertical de dos números no es una fracción.
Ejemplo: De A, B y C salen tres parejas: AB, AC y BC.
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- n, p, k, r · Ensayos y éxitos
Se lee: ene; pe; ka; erre.
n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.
Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.
Datos y supuestos
- Hay n=7 aislados distintos y se seleccionan r=3.
- En otro lote hay 8 etiquetas: 3 de especie A, 3 de B y 2 de C; las de una misma especie son indistinguibles.
- Sin reemplazo no se puede seleccionar dos veces un mismo aislado.
- El orden solo importa en posiciones etiquetadas; estos recuentos no presuponen equiprobabilidad.
¿Cuántas asignaciones de r aislados distintos a r posiciones etiquetadas hay?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿Cuántas asignaciones de r aislados distintos a r posiciones etiquetadas hay? Antes de contar decidimos si importan las posiciones y si hay reemplazo. Multiplicar opciones cuenta secuencias; dividir por las reordenaciones de los elementos seleccionados elimina únicamente el orden que el experimento no distingue. Para este apartado: Las opciones disminuyen al ocupar cada posición sin reemplazo.
Aplicar el producto
Las primeras posiciones tienen 7, 6 y 5 opciones; se multiplican.
Expresar con factoriales
7!/4! = 210; también 35 × 3!.
Comprobar e interpretar
El resultado es 210 asignaciones. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Cambiar de posición dos aislados produce otra asignación.
Cambiar de posición dos aislados produce otra asignación.
Si cada posición recibe una etiqueta de cualquiera de los n aislados y se permiten repeticiones, ¿cuántas secuencias hay?
Identificar la pregunta y justificar el método
Si cada posición recibe una etiqueta de cualquiera de los n aislados y se permiten repeticiones, ¿cuántas secuencias hay? Antes de contar decidimos si importan las posiciones y si hay reemplazo. Multiplicar opciones cuenta secuencias; dividir por las reordenaciones de los elementos seleccionados elimina únicamente el orden que el experimento no distingue. Para este apartado: Ahora cada posición conserva las n opciones.
Cambiar el mecanismo
Se asignan etiquetas, no se extraen aislados; cada una de las 3 posiciones admite las 7 etiquetas.
Multiplicar opciones constantes
7^3 = 343.
Comprobar e interpretar
El resultado es 343 secuencias. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Repetir una etiqueta está permitido en este apartado, no en los anteriores.
Repetir una etiqueta está permitido en este apartado, no en los anteriores.
¿De cuántas maneras se pueden ordenar todos los n aislados distintos?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿De cuántas maneras se pueden ordenar todos los n aislados distintos? Antes de contar decidimos si importan las posiciones y si hay reemplazo. Multiplicar opciones cuenta secuencias; dividir por las reordenaciones de los elementos seleccionados elimina únicamente el orden que el experimento no distingue. Para este apartado: Se usan todos, una vez cada uno.
Agotar las opciones
Hay 7 opciones al principio y una menos en cada posición, hasta quedar una.
Evaluar el factorial
7! = 5040.
Comprobar e interpretar
El resultado es 5040 ordenaciones. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Es el caso r=n de las variaciones sin repetición.
Es el caso r=n de las variaciones sin repetición.
Hacer la cuenta y entender el resultado
Factorial significa multiplicar enteros descendiendo hasta uno: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Ordenar r elementos sin repetir entre n usa opciones cada vez menores. Si se pueden repetir etiquetas, cada posición conserva opciones y el total es .
Una combinación cuenta grupos sin orden. Se obtiene quitando del recuento ordenado las r! maneras de reordenar cada grupo. Estos resultados son números de posibilidades, no probabilidades todavía. Para dividir casos favorables entre todos, las posibilidades deben ser igualmente probables.
Quitar las etiquetas que no importan
Una combinación elimina el orden de una selección dividiendo por las reordenaciones del grupo elegido. Si hay elementos indistinguibles repetidos, las permutaciones con repetición dividen por los factoriales de sus multiplicidades. Ese mismo razonamiento explica los coeficientes binomiales y multinomiales que aparecerán en los modelos de recuento.
En experimentos múltiples, enumera primero unos pocos casos para verificar que no añades resultados imposibles ni omites repeticiones permitidas. La selección sin reemplazo genera dependencia entre extracciones. La selección con reemplazo puede sostener independencia si el mecanismo realmente se repite sin alteraciones.
Desarrollo escrito del ejemplo
Un laboratorio diseña selecciones de aislados y secuencias de etiquetas para tubos; cada apartado cambia qué resultados se distinguen.
- n! · Factorial
Se lee: ene factorial.
Multiplica los enteros de uno hasta n. Por definición, cero factorial vale uno.
Ejemplo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
- C(n,k), binom(n,k) · Combinaciones
Se lee: ene sobre ka; combinaciones de ene elementos tomados de ka en ka.
Cuenta grupos de k elementos elegidos de n sin repetir y sin distinguir el orden. La notación vertical de dos números no es una fracción.
Ejemplo: De A, B y C salen tres parejas: AB, AC y BC.
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- n, p, k, r · Ensayos y éxitos
Se lee: ene; pe; ka; erre.
n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.
Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.
Datos y supuestos
- Hay n=7 aislados distintos y se seleccionan r=3.
- En otro lote hay 8 etiquetas: 3 de especie A, 3 de B y 2 de C; las de una misma especie son indistinguibles.
- Sin reemplazo no se puede seleccionar dos veces un mismo aislado.
- El orden solo importa en posiciones etiquetadas; estos recuentos no presuponen equiprobabilidad.
¿Cuántos grupos de r aislados sin orden y sin reemplazo hay?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿Cuántos grupos de r aislados sin orden y sin reemplazo hay? Antes de contar decidimos si importan las posiciones y si hay reemplazo. Multiplicar opciones cuenta secuencias; dividir por las reordenaciones de los elementos seleccionados elimina únicamente el orden que el experimento no distingue. Para este apartado: Cuenta primero selecciones ordenadas y elimina los r! órdenes de cada grupo.
Contar con orden
n!/(n-r)! = 7!/4! = 210.
Eliminar las reordenaciones
210/3! = 35.
Comprobar e interpretar
El resultado es 35 grupos. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Un grupo no cambia si se intercambia el orden de sus aislados.
Un grupo no cambia si se intercambia el orden de sus aislados.
Quitar las etiquetas que no importan
Una combinación elimina el orden de una selección dividiendo por las reordenaciones del grupo elegido. Si hay elementos indistinguibles repetidos, las permutaciones con repetición dividen por los factoriales de sus multiplicidades. Ese mismo razonamiento explica los coeficientes binomiales y multinomiales que aparecerán en los modelos de recuento.
En experimentos múltiples, enumera primero unos pocos casos para verificar que no añades resultados imposibles ni omites repeticiones permitidas. La selección sin reemplazo genera dependencia entre extracciones. La selección con reemplazo puede sostener independencia si el mecanismo realmente se repite sin alteraciones.
Fórmulas del apartado
Se lee: Ene sobre erre es el número de grupos sin orden: ene factorial entre erre factorial por ene menos erre factorial. Con multiplicidades, dividimos por los factoriales de los grupos indistinguibles.
La primera expresión cuenta selecciones sin orden; la segunda, ordenaciones con multiplicidades fijas.
Desarrollo escrito del ejemplo
Un laboratorio diseña selecciones de aislados y secuencias de etiquetas para tubos; cada apartado cambia qué resultados se distinguen.
- n! · Factorial
Se lee: ene factorial.
Multiplica los enteros de uno hasta n. Por definición, cero factorial vale uno.
Ejemplo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
- C(n,k), binom(n,k) · Combinaciones
Se lee: ene sobre ka; combinaciones de ene elementos tomados de ka en ka.
Cuenta grupos de k elementos elegidos de n sin repetir y sin distinguir el orden. La notación vertical de dos números no es una fracción.
Ejemplo: De A, B y C salen tres parejas: AB, AC y BC.
- x², x³ · Potencia
Se lee: x al cuadrado; x al cubo.
El exponente indica cuántas veces multiplicamos la base por sí misma. Un exponente cero da uno si la base no es cero.
Ejemplo: 3² = 3 × 3 = 9; 10³ = 1.000.
- n, p, k, r · Ensayos y éxitos
Se lee: ene; pe; ka; erre.
n suele contar ensayos; p es la probabilidad del resultado que llamamos éxito; k es el recuento preguntado; r puede ser una meta de éxitos. Cada enunciado fija su uso.
Ejemplo: En diez semillas, n = 10; si germina una de cada cuatro, p = 0,25.
Datos y supuestos
- Hay n=7 aislados distintos y se seleccionan r=3.
- En otro lote hay 8 etiquetas: 3 de especie A, 3 de B y 2 de C; las de una misma especie son indistinguibles.
- Sin reemplazo no se puede seleccionar dos veces un mismo aislado.
- El orden solo importa en posiciones etiquetadas; estos recuentos no presuponen equiprobabilidad.
¿Cuántas secuencias distintas se forman usando todas las etiquetas del otro lote?
Identificar la pregunta y justificar el método
¿Cuántas secuencias distintas se forman usando todas las etiquetas del otro lote? Antes de contar decidimos si importan las posiciones y si hay reemplazo. Multiplicar opciones cuenta secuencias; dividir por las reordenaciones de los elementos seleccionados elimina únicamente el orden que el experimento no distingue. Para este apartado: Intercambiar etiquetas de la misma especie no crea una secuencia nueva.
Contar como si todas fueran distintas
Inicialmente habría 8! ordenaciones.
Quitar duplicaciones internas
Dividimos por 3! × 3! × 2!: resultado 560.
Comprobar e interpretar
El resultado es 560 secuencias. Revisamos que la respuesta use la unidad pedida y tenga sentido en el contexto. Las multiplicidades fijan cuántas veces aparece cada especie, no una probabilidad.
Las multiplicidades fijan cuántas veces aparece cada especie, no una probabilidad.
Ejemplo resuelto
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